【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)求证:当时,
;
(Ⅱ)若函数在(1,+∞)上有唯一零点,求实数
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)见解析(Ⅱ)(0,1)
【解析】试题分析:(Ⅰ)求导,得
,分析单调性得当
时,
即得证;(Ⅱ)
对t进行讨论①
,
在[1,+∞)上是增函数,所以当
时,
,所以
在(1,+∞)上没有零点,②若
,
在[1,+∞)上是减函数,所以当
时,
,所以
在(1,+∞)上没有零点,③若0<t<1时分析单调性借助于第一问,找到
,则当
时
,即
成立;取
,则当
时,
,即
,说明存在
,使得
,即存在唯一零点;
试题解析:
(Ⅰ)由,得
.
当变化时,
与
的变化情况如下表:
x | (0,4) | 4 | (4,+∞) |
+ | 0 | - | |
所以当时,
;
(Ⅱ)
①若,则当
时,
,所以
在[1,+∞)上是增函数,
所以当时,
,所以
在(1,+∞)上没有零点,所以
不满足条件.
②若,则当
时,
,所以
在[1,+∞)上是减函数,
所以当时,
,所以
在(1,+∞)上没有零点,所以
不满足条件.
③若0<t<1,则由,得
当变化时,
与
的变化情况如下表:
记,则当
时
,即
成立;
由(Ⅰ)知当时,
,即
成立,所以取
,则当
时,
且
,从而
,即
,这说明存在
,使得
,
结合上表可知此时函数在(1,+∞)上有唯一零点,所以0<t<1满足条件.
综上,实数的取值范围为(0,1).
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【题目】在直角坐标系中,以
为极点,
轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线
的极坐标方程为
,
分别为
与
轴,
轴的交点.
(1)写出的直角坐标方程,并求
的极坐标;
(2)设的中点为
,求直线
的极坐标方程.
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【题目】已知是由正整数组成的无穷数列,该数列前
项的最大值记为
,第
项之后各项
,
,
的最小值记为
,
.
(I)若为
,
,
,
,
,
,
,
,
,是一个周期为
的数列(即对任意
,
),写出
,
,
,
的值.
(II)设是正整数,证明:
的充分必要条件为
是公比为
的等比数列.
(III)证明:若,
,则
的项只能是
或者
,且有无穷多项为
.
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【题目】已知集合,其中
,由
中的元素构成两个相应的集合:
,
.
其中是有序数对,集合
和
中的元素个数分别为
和
.
若对于任意的,总有
,则称集合
具有性质
.
(Ⅰ)检验集合与
是否具有性质
并对其中具有性质
的集合,写出相应的集合
和
.
(Ⅱ)对任何具有性质的集合
,证明
.
(Ⅲ)判断和
的大小关系,并证明你的结论.
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【题目】如图所示,正方体的棱长为1,线段
上有两个动点
,则下列结论中正确结论的序号是__________.
①;
②直线与平面
所成角的正弦值为定值
;
③当为定值,则三棱锥
的体积为定值;
④异面直线所成的角的余弦值为定值
.
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【题目】已知f(x)=(1+x)m+(1+2x)n(m,n∈N*)的展开式中x的系数为11.
(1)求x2的系数取最小值时n的值;
(2)当x2的系数取得最小值时,求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和.
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