Question

【题目】已知是由正整数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，第项之后各项， ， 的最小值记为， ．

（I）若为， ， ， ， ， ， ， ， ，是一个周期为的数列（即对任意， ），写出， ， ， 的值．

（II）设是正整数，证明： 的充分必要条件为是公比为的等比数列．

（III）证明：若， ，则的项只能是或者，且有无穷多项为．

Answer 1

【答案】（I）， ；（II）见解析；（III）见解析.

【解析】试题分析：（I）根据已知给出的的定义，直接求出， ， ， 的值．

（II）分别证明充分性和必要性。充分性：由条件是公比为的等比数列且为正整数，推导结论；必要性：由结论推导条件。

（III）本问采用反证法，假设中存在大于的项，推导出矛盾。即可得到假设不成立，故中没有大于2的项，又由于是由正整数组成的无穷数列，故中只可能是1和2.然后再进一步证明数列中存在无穷多个1.

试题解析：（I）由题知，在中，

，

， ，

∴， ，

（II）证明：

充分性：∵是公比为的等比数列且为正整数，

∴，

∴， ，

∴，（ ， ， ）．

必要性：∵，（ ， ， ），

∴，

又∵， ，

∴，

∴， ，

∴，

∴为公比为的等比数列．

（III）∵， ，

∴，

，

∴对任意， ，

假设中存在大于的项，

设为满足的最小正整数，

则，对任意， ，

又∵，∴且，

∴，

， ，

故与矛盾，

∴对于任意，有，

即非负整数列各项只能为或．