【题目】已知数列满足:
,
,
.
(1)证明: ;
(2)证明: ;
(3)证明: .
【答案】(1)证明见解析;(2)证明见解析;(3)证明见解析.
【解析】试题分析:(1)先用数学归纳法证明,再设
,
,求出
的单调性,即可得证;(2)要证
,只需证
,令
,
,求出
的单调性,推出
,再令
,
,求出
的单调性,推出
,即可得证;(3)由(2)可得
,由迭代可得
,再根据
,推出
,然后由
,推出
,即可得证.
试题解析:(1)先用数学归纳法证明.
①当时,∵
,∴
;
②假设当时,
,则当
时,
.
由①②可知.
再证.
,
令,
,则
,
所以在
上单调递减,所以
,
所以,即
.
(2)要证,只需证
,
只需证其中
,
先证,
令,
,只需证
.
因为,
所以在
上单调递减,所以
.
再证,
令,
,只需证
,
,
令,
,则
,
所以在
上单调递增,所以
,
从而,所以
在
上单调递增,所以
,
综上可得.
(3)由(2)知,一方面, ,由迭代可得
,
因为,所以
,所以
;
另一方面,即,
由迭代可得.
因为,所以
,所以
;
综上, .
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知,
.
(I)若,求函数
在点
处的切线方程;
(II)若函数在
上是增函数,求实数
的取值范围;
(III)令,
(
是自然对数的底数),求当实数
等于多少时,可以使函数
取得最小值为3.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知是由正整数组成的无穷数列,该数列前
项的最大值记为
,第
项之后各项
,
,
的最小值记为
,
.
(I)若为
,
,
,
,
,
,
,
,
,是一个周期为
的数列(即对任意
,
),写出
,
,
,
的值.
(II)设是正整数,证明:
的充分必要条件为
是公比为
的等比数列.
(III)证明:若,
,则
的项只能是
或者
,且有无穷多项为
.
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【题目】如图所示,正方体的棱长为1,线段
上有两个动点
,则下列结论中正确结论的序号是__________.
①;
②直线与平面
所成角的正弦值为定值
;
③当为定值,则三棱锥
的体积为定值;
④异面直线所成的角的余弦值为定值
.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,E、F分别为A1C1和BC的中点.
(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;
(2)求证:C1F//平面ABE.
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【题目】某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查,从8~10岁,11~12岁,13~14岁,15~16岁四个年龄段回收的问卷依次为:120份,180份,240份,x份.因调查需要,从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本,其中在11~12岁学生问卷中抽取60份,则在15~16岁学生中抽取的问卷份数为( )
A.60 B.80 C.120 D.180
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