【题目】已知数列满足
,
,其中
.
(1)设,求证:数列
是等差数列,并求出
的通项公式;
(2)设,数列
的前
项和为
,是否存在正整数
,使得
对于
恒成立,若存在,求出
的最小值,若不存在,请说明理由.
【答案】(1) ;(2)
的最小值为3.
【解析】试题分析:(1)利用递推公式即可得出为一个常数,从而证明数列
是等差数,再利用等差数列的通项公式即可得到
,进而得到
;(2)利用(1)的结论,利用“裂项求和”即可得到
,要使得
对于
恒成立,只要
,即
,解出即可.
试题解析:(1)证明: ,
所以数列是等差数列,
,因此
,
由.
(2)由,
所以,
所以,
因为,所以
恒成立,
依题意要使对于
,恒成立,只需
,且
解得
,
的最小值为
.
【方法点晴】裂项相消法是最难把握的求和方法之一,其原因是有时很难找到裂项的方向,突破这一难点的方法是根据式子的结构特点,掌握一些常见的裂项技巧:①;②
;③
;
④
;此外,需注意裂项之后相消的过程中容易出现丢项或多项的问题,导致计算结果错误.
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【题目】已知是由正整数组成的无穷数列,该数列前
项的最大值记为
,第
项之后各项
,
,
的最小值记为
,
.
(I)若为
,
,
,
,
,
,
,
,
,是一个周期为
的数列(即对任意
,
),写出
,
,
,
的值.
(II)设是正整数,证明:
的充分必要条件为
是公比为
的等比数列.
(III)证明:若,
,则
的项只能是
或者
,且有无穷多项为
.
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【题目】(本小题满分12分)如图,在三棱柱ABC-A1B1C1中,侧棱垂直于底面,AB⊥BC,E、F分别为A1C1和BC的中点.
(1)求证:平面ABE⊥平面B1BCC1;
(2)求证:C1F//平面ABE.
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【题目】已知f(x)=(1+x)m+(1+2x)n(m,n∈N*)的展开式中x的系数为11.
(1)求x2的系数取最小值时n的值;
(2)当x2的系数取得最小值时,求f(x)展开式中x的奇次幂项的系数之和.
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【题目】设点、
是平面上左、右两个不同的定点,
,动点
满足:
.
(1)求证:动点的轨迹
为椭圆;
(2)抛物线满足:①顶点在椭圆
的中心;②焦点与椭圆
的右焦点重合.
设抛物线与椭圆
的一个交点为
.问:是否存在正实数
,使得
的边长为连续自然数.若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
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【题目】某校做了一次关于“感恩父母”的问卷调查,从8~10岁,11~12岁,13~14岁,15~16岁四个年龄段回收的问卷依次为:120份,180份,240份,x份.因调查需要,从回收的问卷中按年龄段分层抽取容量为300的样本,其中在11~12岁学生问卷中抽取60份,则在15~16岁学生中抽取的问卷份数为( )
A.60 B.80 C.120 D.180
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【题目】已知定义在R的函数是偶函数,且满足
上的解析式为
,过点
作斜率为k的直线l,若直线l与函数
的图象至少有4个公共点,则实数k的取值范围是
A. B.
C.
D.
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