【题目】已知函数(为实常数).
(Ⅰ)若为的极值点,求实数的取值范围.
(Ⅱ)讨论函数在上的单调性.
(Ⅲ)若存在,使得成立,求实数的取值范围.
【答案】(Ⅰ)(Ⅱ)见解析(Ⅲ).
【解析】试题分析:(1) ,由题, 为的极值点,
可得,即.
(2) , ,分, , 三种情况讨论函数的单调性即可.
(3)结合(2)的单调性,分别求和 以及时a的范围,综合取并集可得.
试题解析:(Ⅰ) ,
∵为的极值点,
∴, .
(Ⅱ)∵, ,
当,即时, , ,
此时, 在上单调增,
当即时, 时,
, 时, ,
故在上单调递减,在上单调递增,
当即时, , ,
此时, 在上单调递减.
(Ⅲ)当时,∵在上单调递增,
∴的最小值为,
∴,
当时, 在上单调递减,在上单调递增,
∴的最小值为,
∵,
∴, ,
∴,
∴.
当时, 在上单调递减,
∴的最小值为,
∵, ,
∴,
综上可得: .
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【题目】已知函数, .
(1)当在处的切线与直线垂直时,方程有两相异实数根,求的取值范围;
(2)若幂函数的图象关于轴对称,求使不等式在上恒成立的的取值范围.
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【题目】如图在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为矩形,侧面PAD底面ABCD, ;
(1)求证:平面PAB平面PCD;
(2)若过点B的直线垂直平面PCD,求证: //平面PAD.
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【题目】已知,.
(I)若,求函数在点处的切线方程;
(II)若函数在上是增函数,求实数的取值范围;
(III)令,(是自然对数的底数),求当实数等于多少时,可以使函数取得最小值为3.
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【题目】在直角坐标系中,以为极点, 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线的极坐标方程为, 分别为与轴, 轴的交点.
(1)写出的直角坐标方程,并求的极坐标;
(2)设的中点为,求直线的极坐标方程.
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【题目】如图,已知为椭圆: 的右焦点, , , 为椭圆的下、上、右三个顶点, 与的面积之比为.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)试探究在椭圆上是否存在不同于点, 的一点满足下列条件:点在轴上的投影为, 的中点为,直线交直线于点, 的中点为,且的面积为.若不存在,请说明理由;若存在,求出点的坐标.
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【题目】已知是由正整数组成的无穷数列,该数列前项的最大值记为,第项之后各项, , 的最小值记为, .
(I)若为, , , , , , , , ,是一个周期为的数列(即对任意, ),写出, , , 的值.
(II)设是正整数,证明: 的充分必要条件为是公比为的等比数列.
(III)证明:若, ,则的项只能是或者,且有无穷多项为.
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