【题目】已知函数,
.
(Ⅰ)求曲线在
处的切线方程.
(Ⅱ)求的单调区间.
(Ⅲ)设,其中
,证明:函数
仅有一个零点.
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【题目】如图,已知为椭圆
:
的右焦点,
,
,
为椭圆的下、上、右三个顶点,
与
的面积之比为
.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)试探究在椭圆上是否存在不同于点
,
的一点
满足下列条件:点
在
轴上的投影为
,
的中点为
,直线
交直线
于点
,
的中点为
,且
的面积为
.若不存在,请说明理由;若存在,求出点
的坐标.
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【题目】如图,直三棱柱中,
,
,
是
的中点,
是等腰三角形,
为
的中点,
为
上一点.
(I)若平面
,求
;
(II)平面将三棱柱
分成两个部分,求较小部分与较大部分的体积之比.
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【题目】已知是由正整数组成的无穷数列,该数列前
项的最大值记为
,第
项之后各项
,
,
的最小值记为
,
.
(I)若为
,
,
,
,
,
,
,
,
,是一个周期为
的数列(即对任意
,
),写出
,
,
,
的值.
(II)设是正整数,证明:
的充分必要条件为
是公比为
的等比数列.
(III)证明:若,
,则
的项只能是
或者
,且有无穷多项为
.
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【题目】已知函数(
),将
的图象向左平移
个单位长度后得到
的图象,且
在区间
内的最大值为
.
(1)求实数的值;
(2)在中,内角
,
,
的对边分别是
,
,
,若
,且
,求
的周长
的取值范围.
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【题目】设点、
是平面上左、右两个不同的定点,
,动点
满足:
.
(1)求证:动点的轨迹
为椭圆;
(2)抛物线满足:①顶点在椭圆
的中心;②焦点与椭圆
的右焦点重合.
设抛物线与椭圆
的一个交点为
.问:是否存在正实数
,使得
的边长为连续自然数.若存在,求出
的值;若不存在,说明理由.
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