Question

【题目】已知函数（）.

（1）若在处取到极值，求的值；

（2）若在上恒成立，求的取值范围；

（3）求证：当时， .

Answer 1

【答案】(1) ；(2) ；(3)证明见解析.

【解析】：

试题分析：（1）根据极值的概念得到，可得到参数值；（2）转化为函数最值问题，研究函数的单调性，分时， 时， ，三种情况讨论单调性，使得最小值大于等于0即可。（3）由（1）知令，当时， ，当时， ，给x赋值：2，3，4，5等，最终证得结果。

解析：（1），

∵在处取到极值，

∴，即，∴，

经检验， 时， 在处取到极小值.

（2），令（），

1°当时， ， 在上单调递减，又，

∴时， ，不满足在上恒成立.

2°当时，二次函数开口向上，对称轴为，过.

①当，即时， 在上恒成立，∴，从而在上单调递增，

又，∴时， 成立，满足在上恒成立；

②当，即时，存在，使时， ， 单调递减， 时， ， 单调递增，

∴，又，∴，故不满足题意.

3°当时，二次函数开口向下，对称轴为， 在单调递减， ，

∴， 在上单调递减，又，∴时， ，故不满足题意.

综上所述， .

（3）证明：由（1）知令，当时， （当且仅当时取“”），

∴当时， .即当2,3,4，…， ，有

.