Question

设复数z满足|z|=1，且（3+4i）•z是纯虚数，求复数z和

.

z

．

Answer 1

考点：复数代数形式的混合运算

专题：数系的扩充和复数

分析：设z=a+bi，（a，b∈R），由|z|=1得

a2+b2

=1． （3+4i）•z=3a-4b+（4a+3b）i是纯虚数，则3a-4b=0，再由

a2+b2=1 3a-4b=0

，求得ab的值，可得复数z和

.

z

．

解答： 解：设z=a+bi，（a，b∈R），由|z|=1得

a2+b2

=1．
∵（3+4i）•z=（3+4i）（a+bi）=3a-4b+（4a+3b）i是纯虚数，则3a-4b=0，
再由

a2+b2 =1 3a-4b=0

⇒

a= 4 5 b= 3 5

，或

a=- 4 5 b=- 3 5

，
∴z=

4

5

+

3

5

i，

.

z

=

4

5

-

3

5

i，或者

.

z

=

4

5

+

3

5

i，z=

4

5

-

3

5

i．

点评：本题主要考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘法，虚数单位i的幂运算性质，属于基础题．