Question

已知直线：y=k（x+2）与圆O：x²+y²=4相交于A、B两点，O是坐标原点，三角形ABO的面积为S．
（1）试将S表示成的函数S（k），并求出它的定义域；
（2）求S的最大值，并求取得最大值时k的值．

Answer 1

考点：直线和圆的方程的应用,基本不等式在最值问题中的应用

专题：直线与圆

分析：（1）求出圆心到直线的距离OC，求出弦长AB，由三角形的面积公式即可求出面积S（k），并写出定义域；
（2）分子、分母同除以|k|，然后对分母应用基本不等式，求出最小值，注意等号成立的条件，从而得到S的最大值．

解答： 解：（1）过O作OC⊥AB，垂足为C，则C为AB的中点，
又OC=

|2k|

1+k2

，AB=2

4-OC2

=2

4- 4k2 1+k2

=

4

1+k2

，
∴S（k）=

1

2

•OC•AB=

4|k|

1+k2

，定义域为{k|k∈R且k≠0}；
（2）∵S=

4|k|

1+k2

，
∴S=

4

|k|+ 1 |k|

，
∵|k|+

1

|k|

≥2，
∴S≤

4

2

=2，
∴当且仅当|k|=

1

|k|

即k=±1时，S取最大值，且为2．

点评：本题主要考查直线与圆的位置关系：相交，考查弦长的求法，考查基本不等式及应用于求最值，注意等号成立的条件．