Question

已知函数f（x）=2cos²x+2asinxcosx-1的图象关于直线x=

π

8

对称．
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）把函数y=f（x）的图象向右平移k（k＞0）个单位后与函数g（x）=

2

sin2x的图象重合，求k的最小值．

Answer 1

考点：两角和与差的正弦函数,正弦函数的对称性,函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换

专题：计算题,三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）根据函数f（x）=2cos²x+2asinxcosx-1的图象关于直线x=

π

8

对称，可得f（0）=f（

π

4

），即可求a的值；
（II）先化简函数，再按照图象平移的规律，利用把函数y=f（x）的图象向右平移k（k＞0）个单位后与函数g（x）=

2

sin2x的图象重合，即可求k的最小值．

解答： 解：（Ⅰ）∵函数f（x）=2cos²x+2asinxcosx-1的图象关于直线x=

π

8

对称，
∴f（0）=f（

π

4

），
∴2-1=1+a-1，∴a=1；
（Ⅱ）f（x）=2cos²x+2asinxcosx-1=cos2x+sin2x=

2

sin（2x+

π

4

），
函数y=f（x）的图象向右平移k（k＞0）个单位后，得到g（x）=

2

sin[2（x-k）+

π

4

）]=

2

sin（2x-2k+

π

4

）=

2

sin2x，
∴k的最小值为

π

8

．

点评：解决三角函数的性质问题，应该先利用三角函数的公式化简三角函数为一个角一个函数的形式；图象的平移遵循左加右减上原则．