【题目】如图,三棱锥中,
是等边三角形,
是线段
的中点,
是线段
上靠近
的四等分点,平面
平面
.
(1)求证:;
(2)若,求二面角
的余弦值.
【答案】(1)证明见解析;(2)
【解析】
(1)取的中点为
,连接
,由
是等边三角形,可得
,
,结合平面
平面
,易证
平面
,从而可证明结论;
(2)连接,易知
,
,
两两垂直,以
,
,
所在直线为
轴,
轴,
轴建立如图所示的空间直角坐标系
,然后分别求出平面
、
的法向量,设二面角
为
,则
,可求出答案.
(1)如图,取的中点为
,连接
.
因为是等边三角形,所以
.
由题意知,从而
.
因为平面平面
,平面
平面
,
,
所以平面
.
又平面
,所以
.
(2)如图,连接.
因为,所以
.
又平面平面
,平面
平面
,
,
所以平面
.所以
,
,
两两垂直.
分别以,
,
所在直线为
轴,
轴,
轴建立如图所示的空间直角坐标系
.
因为,
为等边三角形,
所以,所以
,
,
,
从而,
.
设平面的法向量
.
由,得
,即
.可取
.
取平面的一个法向量
.
设二面角为
,则
.
由题意可知二面角为锐角,故二面角
的余弦值为
.
科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知,
,
分别为
内角
,
,
的对边,若
同时满足下列四个条件中的三个:①
;②
;③
;④
.
(1)满足有解三角形的序号组合有哪些?
(2)在(1)所有组合中任选一组,并求对应的面积.
(若所选条件出现多种可能,则按计算的第一种可能计分)
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】为了节能减排,发展低碳经济,我国政府从2001年起就通过相关政策推动新能源汽车产业发展.下面的图表反映了该产业发展的相关信息:
中国新能源汽车产销情况一览表 | ||||
新能源汽车生产情况 | 新能源汽车销售情况 | |||
产品(万辆) | 比上年同期 | 销量(万辆) | 比上年同期 | |
2018年3月 | 6.8 | 105 | 6.8 | 117.4 |
4月 | 8.1 | 117.7 | 8.2 | 138.4 |
5月 | 9.6 | 85.6 | 10.2 | 125.6 |
6月 | 8.6 | 31.7 | 8.4 | 42.9 |
7月 | 9 | 53.6 | 8.4 | 47.7 |
8月 | 9.9 | 39 | 10.1 | 49.5 |
9月 | 12.7 | 64.4 | 12.1 | 54.8 |
10月 | 14.6 | 58.1 | 13.8 | 51 |
11月 | 17.3 | 36.9 | 16.9 | 37.6 |
1-12月 | 127 | 59.9 | 125.6 | 61.7 |
2019年1月 | 9.1 | 113 | 9.6 | 138 |
2月 | 5.9 | 50.9 | 5.3 | 53.6 |
根据上述图表信息,下列结论错误的是( )
A.2017年3月份我国新能源汽车的产量不超过万辆
B.2017年我国新能源汽车总销量超过万辆
C.2018年8月份我国新能源汽车的销量高于产量
D.2019年1月份我国插电式混合动力汽车的销量低于万辆
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在平面直角坐标系中,曲线
的参数方程为
(
为参数).以坐标原点
为极点,
轴正半轴为极轴建立极坐标系,直线
的极坐标方程为
,且
与
交于
,
两点,已知点
的极坐标为
.
(1)求曲线的普通方程和直线
的直角坐标方程,并求
的值;
(2)若矩形内接于曲线
且四边与坐标轴平行,求其周长的最大值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】已知直线过点
,倾斜角为
,在以坐标原点为极点,
轴的非负半轴为极轴的极坐标系中,曲线
的方程为
.
(1)写出直线的参数方程和曲线
的直角坐标方程;
(2)若直线与曲线
相交于
两点,设点
,求
的值.
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】在三棱锥中,底面
是边长为6的正三角形,
底面
,且
与底面
所成的角为
.
(1)求三棱锥的体积;
(2)若是
的中点,求异面直线
与
所成角的大小(结果用反三角函数值表示).
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科目:高中数学 来源: 题型:
【题目】某企业打算处理一批产品,这些产品每箱100件,以箱为单位销售.已知这批产品中每箱出现的废品率只有或者
两种可能,两种可能对应的概率均为0.5.假设该产品正品每件市场价格为100元,废品不值钱.现处理价格为每箱8400元,遇到废品不予更换.以一箱产品中正品的价格期望值作为决策依据.
(1)在不开箱检验的情况下,判断是否可以购买;
(2)现允许开箱,有放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验.
①若此箱出现的废品率为,记抽到的废品数为
,求
的分布列和数学期望;
②若已发现在抽取检验的2件产品中,其中恰有一件是废品,判断是否可以购买.
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