Question

【题目】在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为（为参数）.以坐标原点为极点，轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线的极坐标方程为，且与交于，两点，已知点的极坐标为.

（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程，并求的值；

（2）若矩形内接于曲线且四边与坐标轴平行，求其周长的最大值.

Answer 1

【答案】（1）曲线的普通方程为；直线的直角坐标方程为；（2）

【解析】

（1）结合参数方程、极坐标方程及普通方程间的关系，转化即可求出曲线的普通方程和直线的直角坐标方程；求出直线的参数方程的标准形式，并代入曲线的普通方程中，得到关于的一元二次方程，结合可求出答案；（2）设点在第一象限，且，，可知矩形的周长为，利用三角函数的性质求最大值即可.

（1）依题意，得点的直角坐标为，曲线的普通方程为.

由直线，得其直角坐标方程为.

所以直线的参数方程为（为参数），代入中，

可得，所以.

（2）不妨设点在第一象限，且，.

由椭圆的对称性可知，矩形的周长为.

而，所以当时，矩形的周长取最大值，最大值为.