Question

【题目】如果对一切正实数，，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）

A.B.C.D.

Answer 1

【答案】D

【解析】

将不等式cos2x≥asinx恒成立转化为asinx+1﹣sin2x恒成立，构造函数f（y），利用基本不等式可求得f（y）min＝3，于是问题转化为asinx﹣sin2x≤2恒成立．通过对sinx＞0、sinx＜0、sinx＝0三类讨论，可求得对应情况下的实数a的取值范围，最后取其交集即可得到答案．

解：实数x、y，不等式cos2x≥asinx恒成立asinx+1﹣sin2x恒成立，

令f（y），

则asinx+1﹣sin2x≤f（y）min，

∵y＞0，f（y）23（当且仅当y＝6时取“＝”），f（y）min＝3；

所以，asinx+1﹣sin2x≤3，即asinx﹣sin2x≤2恒成立．

①若sinx＞0，a≤sinx恒成立，令sinx＝t，则0＜t≤1，再令g（t）＝t（0＜t≤1），则a≤g（t）min．

由于g′（t）＝10，

所以，g（t）＝t在区间（0，1]上单调递减，

因此，g（t）min＝g（1）＝3，

所以a≤3；

②若sinx＜0，则a≥sinx恒成立，同理可得a≥﹣3；

③若sinx＝0，0≤2恒成立，故a∈R；

综合①②③，﹣3≤a≤3．

故选：D．