Question

【题目】已知函数其中

（1）当时,求曲线在点处的切线方程;

（2）当时,求函数的单调区间;

（3）若对于恒成立,求的最大值.

Answer 1

【答案】（1）（2）的单调递增区间为，单调递减区间为.（3）

【解析】

（1）根据导数的几何意义，求出切线斜率，由点斜式方程即可写出切线方程；

（2）求出导数，依据在上单调递增，且，分别解不等式以及，即可求出函数的单调增区间和减区间；

（3）由题意得在上恒成立，设，用导数讨论函数的单调性，求出最小值，可得．再设，求出函数的最大值，即为的最大值．

（1）由，得，

所以，．

所以曲线在点处的切线方程为．

（2）由，得．

因为，且 在上单调递增，所以

由得，，

所以函数在上单调递增 ，

由得，

所以函数在上单调递减．

综上，函数的单调递增区间为，单调递减区间为．

（3）由，得在上恒成立．

设，

则．

由，得，（）．

随着变化，与的变化情况如下表所示：

		0
	↘	极小值	↗

所以在上单调递减，在上单调递增．

所以函数的最小值为．

由题意，得，即 ．

设，则．

因为当时，； 当时，，

所以在上单调递增，在上单调递减．

所以当时，．

所以当，，即，时，有最大值为．