【题目】如图，在三棱锥P-ABC中，已知
，顶点P在平面ABC上的射影为
的外接圆圆心.
（1）证明：平面
平面ABC；
（2）若点M在棱PA上，
，且二面角P-BC-M的余弦值为
，试求
的值.
【答案】（1）证明见解析 （2）
【解析】
（1）设
的中点为
，连接
，易知点为
的外接圆圆心，从而
平面
，即可证明平面
平面ABC；
（2）以
，
，
所在直线分别为
轴，
轴，
轴建立如图所示的空间直角坐标系， 求出平面
与平面
的法向量，代入公式即可建立
的方程，解之即可.
（1）证明：如图，设的中点为，连接，
由题意，得
，则为直角三角形，
点为的外接圆圆心．
又点
在平面
上的射影为的外接圆圆心，
所以平面，
又
平面
，所以平面平面．
（2）解：由（1）可知平面，
所以
，
，
，
于是以，，所在直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系，
则
，
，
，
，
，
设
，
，
，
设平面的法向量为
，
则
得
令
，得
，
，
即
．
设平面的法向量为
，
由
得
令
，得
，
，即
解得
即M为PA的中点．
科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】在平面直角坐标系
中，曲线
的参数方程为
（
为参数）.以坐标原点
为极点，
轴正半轴为极轴建立极坐标系，直线
的极坐标方程为
，且与交于
，
两点，已知点
的极坐标为
.
（1）求曲线的普通方程和直线的直角坐标方程，并求
的值；
（2）若矩形
内接于曲线且四边与坐标轴平行，求其周长的最大值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图所示的几何体中，正方形
所在平面垂直于平面
，四边形为平行四边形，G为
上一点，且
平面
，
.
(1)求证：平面
平面
；
(2)当三棱锥
体积最大时，求平面与平面
所成二面角的正弦值.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】某企业打算处理一批产品，这些产品每箱100件，以箱为单位销售.已知这批产品中每箱出现的废品率只有
或者
两种可能，两种可能对应的概率均为0.5.假设该产品正品每件市场价格为100元，废品不值钱.现处理价格为每箱8400元，遇到废品不予更换.以一箱产品中正品的价格期望值作为决策依据.
（1）在不开箱检验的情况下，判断是否可以购买；
（2）现允许开箱，有放回地随机从一箱中抽取2件产品进行检验.
①若此箱出现的废品率为，记抽到的废品数为
，求的分布列和数学期望；
②若已发现在抽取检验的2件产品中，其中恰有一件是废品，判断是否可以购买.
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科目：高中数学 来源： 题型：
【题目】如图，正方形
的棱长为1，线段
上有两个动点
.
，且
，则下列结论中错误的是（ ）
A.
；
B.三棱锥
体积是定值；
C.二面角
的平面角大小是定值；
D.
与平面
所成角等于
与平面所成角；
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【题目】已知函数
满足
,且
,
分别是定义在
上的偶函数和奇函数．
（1）求函数的反函数;
（2）已知
,若函数
在
上满足
,求实数a的取值范围;
（3）若对于任意
不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
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