Question

【题目】已知函数．

（1）若对恒成立，求的取值集合；

（2）在函数的图像上取定点,记直线AB的斜率为K，证明：存在，使恒成立；

Answer 1

【答案】（1）；（2）见解析

【解析】

（1）对一切x＞0，f（x）≤恒成立，即对一切x＞0，恒成立，构造新函数，求出函数的最值，即可求得结论；

（2）要证明存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）＝k成立，只要证明f′（x）﹣k＝0在（x1，x2）内有解即可．

（1）解：对一切x＞0，f（x）≤恒成立，

即对一切x＞0，恒成立，

令，则

令g′（x）>0，可得0＜x＜；令g′（x）<0，可得x＞，

∴x＝时，g（x）取得最大值g（）

∴；

令，，

在上单调递减，在在上单调递增，

∴，又，

∴

∴的取值集合；

（2）证明：由题意，k

要证明存在x0∈（x1，x2），使f′（x0）＝k成立，只要证明f′（x）﹣k＝0在（x1，x2）内有解即可

令h（x）＝f′（x）﹣k，只要证明h（x）在（x1，x2）内存在零点即可

∵h（x）在（x1，x2）内是减函数，只要证明h（x1）＞0，h（x2）＜0

即证0，0

令F（t）＝t﹣1﹣lnt（t＞0），∵F′（t）＝1，∴函数在（0，1）上单调递减，在（1，+∞）上单调递增

∴函数在t＝1时，取得最小值0，∴F（t）≥0

∵0且；0且1

∴0，0

∴结论成立．