【题目】已知函数.
(1)讨论的单调性;
(2)已知函数在
时总有
成立,求
的取值范围.
【答案】(1)见解析 (2)
【解析】
(1)先对函数求导,得到,分别讨论
,
,
,
四种情况,即可求出结果;
(2)先构造函数,分别讨论
,
两种情况,用导数的方法研究函数单调性,即可根据题意求出参数范围.
(1)因为,
所以.
(ⅰ)若,
恒成立,所以
在
上单调递增.
(ⅱ)若,
,当
时,
,所以
在
上单调递增;当
时,
,所以
在
上单调递增;当
时,
,所以
在
上单调递减.
(ⅲ)若,
恒成立,所以
在
上单调递增.
(ⅳ)若,
,当
时,
,所以
在
上单调递增;当
时,
,所以
在
上单调递减;当
时,
,所以
在
上单调递增.
综上,当或
时,
在
上单调递增;当
时,
在
和
上单调递增,在
上单调递减;当
时,
在
和
上单调递增,在
上单调递减
(2)构造函数,
当时,由
,得
,
,∴
.
当时,
,
因为,所以
,
所以
在
上恒成立,故
在
上单调递增.
,解得
,又
,所以
.
故的取值范围是
.
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【题目】如图所示的几何体中,正方形所在平面垂直于平面
,四边形
为平行四边形,G为
上一点,且
平面
,
.
(1)求证:平面平面
;
(2)当三棱锥体积最大时,求平面
与平面
所成二面角的正弦值.
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【题目】已知函数满足
,且
,
分别是定义在
上的偶函数和奇函数.
(1)求函数的反函数;
(2)已知,若函数
在
上满足
,求实数a的取值范围;
(3)若对于任意不等式
恒成立,求实数
的取值范围.
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【题目】“辛卜生公式”给出了求几何体体积的一种计算方法:夹在两个平行平面之间的几何体,如果被平行于这两个平面的任何平面所截,截得的截面面积是截面高(不超过三次)的多项式函数,那么这个几何体的体积,就等于其上底面积、下底面积与四倍中截面面积的和乘以高的六分之一.即:,式中
,
,
,
依次为几何体的高,下底面积,上底面积,中截面面积.如图,现将曲线
与直线
及
轴围成的封闭图形绕
轴旋转一周得到一个几何体.利用辛卜生公式可求得该几何体的体积
( )
A.B.
C.
D.
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【题目】已知抛物线上一点
,
与
关于抛物线的对称轴对称,斜率为1的直线交抛物线于
、
两点,且
、
在直线
两侧.
(1)求证:平分
;
(2)点为抛物线在
、
处切线的交点,若
,求直线
的方程.
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【题目】若函数y=f(x)对定义域的每一个值x1,在其定义域均存在唯一的x2,满足f(x1)f(x2)=1,则称该函数为“依赖函数”.
(1)判断,y=2x是否为“依赖函数”;
(2)若函数y=a+sinx(a>1), 为依赖函数,求a的值,并给出证明.
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