【题目】如图,扇形的半径为
,圆心角
,点
为弧
上一点,
平面
且
,点
且
,
∥平面
.
(1)求证:平面平面
;
(2)求平面和平面
所成二面角的正弦值的大小.
【答案】(1)见证明;(2)
【解析】
(1)如图,连接交
于点
,连接
,结合
∥平面
,得到
∥
,从而求得
,根据余弦定理得
,得到
,得到
,因为
平面
,所以
,得到
平面
,再利用面面垂直的判定定理证得平面
平面
;
(2)由(1)的条件,得到,建立空间直角坐标系
,得到点的坐标,求得面的法向量,用法向量所成角的余弦值得到二面角的余弦值,再应用同角三角函数关系式求得其正弦值,得到答案.
(1)如图,连接交
于点
,连接
,
∥平面
,
∥
,
,
,
,
,
,
,
又,
在
中,根据余弦定理得
,
,
,
,
又平面
,
,
平面
,
又平面
,
平面
平面
(2)由(1)得,如图建立空间直角坐标系
,
,
,
,
,
,
,
点
且
,
,
设平面的法向量为
,则
,即
,
令,得
,
,
,
设平面的法向量为
,则
,即
,即
,令
,得
,
,
,
设平面和平面
所成二面角的大小为
,
则,
,
∴平面和平面
所成二面角的正弦值的大小为
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【题目】如图,正方形的棱长为1,线段
上有两个动点
.
,且
,则下列结论中错误的是( )
A.;
B.三棱锥体积是定值;
C.二面角的平面角大小是定值;
D.与平面
所成角等于
与平面
所成角;
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【题目】“辛卜生公式”给出了求几何体体积的一种计算方法:夹在两个平行平面之间的几何体,如果被平行于这两个平面的任何平面所截,截得的截面面积是截面高(不超过三次)的多项式函数,那么这个几何体的体积,就等于其上底面积、下底面积与四倍中截面面积的和乘以高的六分之一.即:,式中
,
,
,
依次为几何体的高,下底面积,上底面积,中截面面积.如图,现将曲线
与直线
及
轴围成的封闭图形绕
轴旋转一周得到一个几何体.利用辛卜生公式可求得该几何体的体积
( )
A.B.
C.
D.
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【题目】如图,在四棱锥中,底面
是正方形,且
,平面
平面
,
,点
为线段
的中点,点
是线段
上的一个动点.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)当点是线段
上的中点时,求二面角
的平面角的余弦值.
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【题目】正整数数列满足
(p,q为常数),其中
为数列
的前n项和.
(1)若,
,求证:
是等差数列;
(2)若数列为等差数列,求p的值;
(3)证明:的充要条件是
.
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【题目】有限个元素组成的集合为,
,集合
中的元素个数记为
,定义
,集合
的个数记为
,当
,称集合
具有性质
.
(1)设集合具有性质
,判断集合
中的三个元素是否能组成等差数列,请说明理由;
(2) 设正数列的前
项和为
,满足
,其中
,数列
中的前
项:
组成的集合
记作
,将集合
中的所有元素
从小到大排序,即
满足
,求
;
(3) 己知集合,其中数列
是等比数列,
,且公比是有理数,判断集合
是否具有性质
,说明理由.
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【题目】已知椭圆的离心率e满足
,右顶点为A,上顶点为B,点C(0,-2),过点C作一条与y轴不重合的直线l,直线l交椭圆E于P,Q两点,直线BP,BQ分别交x轴于点M,N;当直线l经过点A时,l的斜率为
.
(1)求椭圆E的方程;
(2)证明:为定值.
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