【题目】正整数数列满足
(p,q为常数),其中
为数列
的前n项和.
(1)若,
,求证:
是等差数列;
(2)若数列为等差数列,求p的值;
(3)证明:的充要条件是
.
【答案】(1)证明见解析;(2)或
;(3)证明见解析.
【解析】
(1),
时,
,可得
,
时,
,化为:
,即可证明.
(2)设等差数列的公差为
,可得
,
.
又,可得
.比较两边的系数可得:
,对
分类讨论,进而得出.
(3)由,可得
.由
,利用递推关系可得:
,即
.必要性:当
时,
可得
.充分性:反证法,当
时,可得
,不满足
.当
时,同理可证明,不满足
.
(1),
时,
,可得
.
时,
,
整理为:,
∴,∴
是等差数列.
(2)设等差数列的公差为d,
∴,
.
则,
∴①.
比较两边的系数可得:,
当时,
,解得
,
.
此时,,由(1)可得:
是等差数列.
当时,
.由①比较常数项可得:
,
则,
,
是等差数列.
综上可得:或
.
(3)证明:由,可得
.
由,
相减可得:,即
.
必要性:当时,
.
∴……
,
∴.
充分性:反证法,当时,
由,
又数列各项为正数,
∴,即
,
∴,不满足
.当
时,
同理可证明,不满足.
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【题目】已知 m、n 是两条不同的直线,α、β、γ是三个不同的平面,下列命题中正确的是( )
A.若α⊥β , β⊥γ ,则α∥γ
B.若 ,
, m∥n ,则α∥β
C.若 m、n 是异面直线, , m∥β ,
, n∥α ,则α∥β
D.平面α内有不共线的三点到平面 β的距离相等,则α∥β
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【题目】“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法,甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”,子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始,“地支”以“子”字开始,两者按照干支顺序相配,构成了“干支纪年法”,其相配顺序为:甲子、乙丑、丙寅癸酉、甲戌、乙亥、丙子
癸未、甲申、乙酉、丙戌
癸巳
癸亥,60为一个周期,周而复始,循环记录.按照“干支纪年法”,中华人民共和国成立的那年为己丑年,则2013年为( )
A.甲巳年B.壬辰年C.癸巳年D.辛卯年
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【题目】设是函数
定义域的一个子集,若存在
,使得
成立,则称
是
的一个“准不动点”,也称
在区间
上存在准不动点,已知
,
.
(1)若,求函数
的准不动点;
(2)若函数在区间
上存在准不动点,求实数
的取值范围.
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【题目】给正有理数、
(
,
,
,且
和
不同时成立),按以下规则
排列:① 若
,则
排在
前面;② 若
,且
,则
排在
的前面,按此规则排列得到数列
.
(例如:).
(1)依次写出数列的前10项;
(2)对数列中小于1的各项,按以下规则
排列:①各项不做化简运算;②分母小的项排在前面;③分母相同的两项,分子小的项排在前面,得到数列
,求数列
的前10项的和
,前2019项的和
;
(3)对数列中所有整数项,由小到大取前2019个互不相等的整数项构成集合
,
的子集
满足:对任意的
,有
,求集合
中元素个数的最大值.
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【题目】已知椭圆C:的离心率
,椭圆C上的点到其左焦点的最大距离为
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点A作直线
与椭圆相交于点B,则
轴上是否存在点P,使得线段
,且
?若存在,求出点P坐标;否则请说明理由.
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【题目】设a∈R,函数f(x)=x|x-a|-a.
(1) 若f(x)为奇函数,求a的值;
(2) 若对任意的x∈[2,3],f(x)≥0恒成立,求a的取值范围;
(3) 当a>4时,求函数y=f(f(x)+a)零点的个数.
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