【题目】如图,在四棱锥中,底面
是正方形,且
,平面
平面
,
,点
为线段
的中点,点
是线段
上的一个动点.
(Ⅰ)求证:平面平面
;
(Ⅱ)当点是线段
上的中点时,求二面角
的平面角的余弦值.
【答案】(Ⅰ)证明见解析;(Ⅱ)
【解析】
(Ⅰ)推导出和
即可证明
平面
,再利用面面垂直判定即可
(Ⅱ)以,
,
所在直线分别为
轴,建立如图所示空间直角坐标系
,求得两个平面的法向量,再利用二面角向量公式求解
(Ⅰ)证明:∵四边形是正方形,∴
.
∵平面平面
平面
平面
,∴
平面
.
∵平面
,∴
.
∵,点
为线段
的中点,∴
.
又∵,∴
平面
.
又∵平面
,∴平面
平面
.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知平面
,
∵,∴
平面
.
∴,
又
,
∴,
,
两两垂直,以
为原点,
以,
,
所在直线分别为
轴,建立如图所示空间直角坐标系
.
因为,∵
.
,
,
,
又为
的中点,
,
为
的中点,
,
,
设平面的法向量为
,则
,
∴,令
,则
,
∴,则
,
∵平面
,∴平面
的一个法向量
,
.
由图知二面角的平面角为锐角,则二面角
的平面角的余弦值为
.
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【题目】若定义域均为D的三个函数f(x),g(x),h(x)满足条件:对任意x∈D,点(x,g(x)与点(x,h(x)都关于点(x,f(x)对称,则称h(x)是g(x)关于f(x)的“对称函数”.已知g(x)=,f(x)=2x+b,h(x)是g(x)关于f(x)的“对称函数”,且h(x)≥g(x)恒成立,则实数b的取值范围是_____.
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【题目】“干支纪年法”是中国历法上自古以来就一直使用的纪年方法,甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸被称为“十天干”,子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二地支”.“天干”以“甲”字开始,“地支”以“子”字开始,两者按照干支顺序相配,构成了“干支纪年法”,其相配顺序为:甲子、乙丑、丙寅癸酉、甲戌、乙亥、丙子
癸未、甲申、乙酉、丙戌
癸巳
癸亥,60为一个周期,周而复始,循环记录.按照“干支纪年法”,中华人民共和国成立的那年为己丑年,则2013年为( )
A.甲巳年B.壬辰年C.癸巳年D.辛卯年
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【题目】2019年庆祝中华人民共和国成立70周年阅兵式彰显了中华民族从站起来、富起来迈向强起来的雄心壮志.阅兵式规模之大、类型之全均创历史之最,编组之新、要素之全彰显强军成就.装备方阵堪称“强军利刃”“强国之盾”,见证着人民军队迈向世界一流军队的坚定步伐.此次大阅兵不仅得到了全中国人的关注,还得到了无数外国人的关注.某单位有10位外国人,其中关注此次大阅兵的有8位,若从这10位外国人中任意选取3位做一次采访,则被采访者中至少有2位关注此次大阅兵的概率为( )
A.B.
C.
D.
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【题目】设是函数
定义域的一个子集,若存在
,使得
成立,则称
是
的一个“准不动点”,也称
在区间
上存在准不动点,已知
,
.
(1)若,求函数
的准不动点;
(2)若函数在区间
上存在准不动点,求实数
的取值范围.
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【题目】已知椭圆C:的离心率
,椭圆C上的点到其左焦点的最大距离为
.
(Ⅰ)求椭圆C的方程;
(Ⅱ)过点A作直线
与椭圆相交于点B,则
轴上是否存在点P,使得线段
,且
?若存在,求出点P坐标;否则请说明理由.
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【题目】如图,过抛物线焦点
的直线与抛物线交于
(其中
点在
轴的上方)两点.
(1)若线段的长为3,求
到直线
的距离;
(2)证明:为钝角三角形;
(3)已知且
,求三角形
的面积
的取值范围.
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