[题目]过轴上动点引抛物线的两条切线..其中.为切线.(1)若切线.的斜率分别为和.求证:为定值.并求出定值,(2)当最小时.求的值. 题目和参考答案——青夏教育精英家教网—

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【题目】过轴上动点引抛物线的两条切线，，其中，为切线.

（1）若切线，的斜率分别为和，求证：为定值，并求出定值；

（2）当最小时，求的值.

【答案】（1）证明见解析，为定值-4（2）

【解析】

（1）联立，得，则，是方程的解，故，即为定值.

（2）要使最小，就是使得到直线的距离最小，首先求出直线的方程，利用点到直线公式和基本不等式得到：到直线的距离最小值时，再联立得到，，，带入即可.

（1）设过与抛物线相切的直线的斜率是，

则该切线方程为：.

由，得.

∴.

则，是方程的解，

故，即为定值.

（2）要使最小，就是使得到直线的距离最小.

设，，由题知：

，.

故切线的方程为：.

则，

整理得：.同理得：.

所以.

直线的方程为.

设到直线的距离为，则

当且仅当即时取等号

由得

则，

∴

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