Question

函数f（x）=x²-（1+）x+lnx，a∈R．
（1）当a=-1时，求f（x）的单调区间；
（2）当a＞0时，讨论f（x）的单调性；
（3）g（x）=b²x²-3x+ln2，当a=2，1＜x＜3时，g（x）＞f（x）恒有解，求b的取值范围．

Answer 1

解：f′（x）=
=[x²-（a+）x+1]=（x-a）（x-）
由题设知x＞0
a-=
（1）a=-1时，f′（x）＜0，则f（x）的单减区间是（0，+∞）
（2）①0＜a＜1时，a-＜0，即0＜a，则f（x）在（0，a）和（，+∞）上单增，在（a，）上单减
②a=1时，a==1，f′（x）≥0，则f（x）在（0，+∞）上单增
③a＞1时，a-＞0即0＜＜a，则f（x）在（0，）和（a，+∞）上单增，在（，a）上单减
（3）由（2）知，a=2，1＜x＜3时，
当x=2时f（x）得到最小值为f（2）=
∴1＜x≤3时，g（x）＞f（x）恒有解，需b²x²-3x+＞在1＜x＜3时有解
即b²＞3[]有解，
令t=，k（t）=+t，，
k′（t）=1-t＞0，∴k（t） 在上单增
∴
∴需b²，即b或b
∴b的范围是（-∞，）∪（，+∞）．
分析：（1）求出f′（x）把a=-1代入到f′（x），令f′（x）＞0时，得到函数的递增区间；令f′（x）＜0时，得到函数的递减区间；
（2）在求单调区间时要注意函数的定义域以及对参数a的讨论情况；
（3）g（x）＞f（x）恒有解，分类参数可得即b²＞3[]有解，利用换元法和导数研究函数k（t）=+t，的最值，即可求得结论．
点评：考查学生利用导数研究函数单调性的能力，理解函数恒成立取到的条件，考查应用知识分析解决问题的能力和运算能力，分离参数转化为求函数的最值是解题的关键，体现了转化的数学思想方法，属难题．