Question

【题目】已知函数f(x)＝a－ (a∈R).

(1) 判断函数f(x)的单调性并给出证明；

(2) 若存在实数a使函数f(x)是奇函数，求a；

(3)对于(2)中的a，若f(x)≥，当x∈[2,3]时恒成立，求m的最大值．

Answer 1

【答案】（1）见解析；（2）a＝1；（3）.

【解析】试题分析：（1）设x1，x2∈R，且x1<x2，由定义法能推出f(x1)－f(x2)<0，从而得到f(x)在定义域上单调递增；

（2）由奇函数定义得f(0)=0，求参检验即可；

（3）由条件可得： m≤2x (1－＝(2x＋1)＋－3恒成立．m≤(2x＋1)＋－3的最小值，x∈[2,3]即可得解.

试题解析：

(1)不论a为何实数，f(x)在定义域上单调递增．

证明：设x1，x2∈R，且x1<x2，

则f(x1)－f(x2)＝－＝.

由x1<x2可知0<2x1<2x2，

所以2x1－2x2<0,2x1＋1>0,2x2＋1>0，

所以f(x1)－f(x2)<0，f(x1)<f(x2)．

所以由定义可知，不论a为何数，f(x)在定义域上单调递增．

(2)由f(0)＝a－1＝0得a＝1，经验证，当a＝1时，f(x)是奇函数．

(3)由条件可得： m≤2x＝(2x＋1)＋－3恒成立．m≤(2x＋1)＋－3的最小值，x∈[2,3]．

设t＝2x＋1，则t∈[5,9]，函数g(t)＝t＋－3在[5,9]上单调递增，

所以g(t)的最小值是g(5)＝，

所以m≤，即m的最大值是.