【题目】已知函数f(x)对任意的x,y∈R,总有f(x)+f(y)=f(x+y),且x<0时,f(x)>0.
(1)求证:函f(x)是奇函数;
(2)求证:函数f(x)是R上的减函数;
(3)若定义在(﹣2,2)上的函数f(x)满足f(﹣m)+f(1﹣m)<0,求实数m的取值范围.
【答案】
(1)证明:∵f(x+y)=f(x)+f(y)
∴令x=y=0 有f (0 )=0
令y=﹣x 有:0=f(0)=f(x+(﹣x))=f(x)+f(﹣x)
∴函数f(x)是奇函数
(2)证明:设x2>x1则x1﹣x2<0
∵当x<0时,f(x)>0
∴f(x1﹣x2)>0
∴f(x1)=f[(x1﹣x2)+x2]=f(x1﹣x2)+f(x2)>f(x2)
∴函数f(x)是R上的减函数
(3)解:∵f(﹣m)+f(1﹣m)<0,∴f(﹣m)<f(m﹣1),
且f(﹣m)+f(1﹣m)=f(1﹣2m)
∴ ,解得:﹣
<m<
【解析】(1)由f(x+y)=f(x)+f(y)可令x=y=0 有f (0 )=0,令y=﹣x 代入即证;(2)设x2>x1则x1﹣x2<0,由已知当x<0时,f(x)>0可得f(x1﹣x2)>0,则f(x1)=f[(x1﹣x2)+x2]=f(x1﹣x2)+f(x2)>f(x2)可证;(3)移项,利用奇偶性进行化简,然后利用单调性建立不等式,注意定义域,从而可求出m的取值范围.
【考点精析】解答此题的关键在于理解函数单调性的判断方法的相关知识,掌握单调性的判定法:①设x1,x2是所研究区间内任两个自变量,且x1<x2;②判定f(x1)与f(x2)的大小;③作差比较或作商比较,以及对函数的奇偶性的理解,了解偶函数的图象关于y轴对称;奇函数的图象关于原点对称.
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【题目】 某厂生产不同规格的一种产品,根据检测标准,其合格产品的质量与尺寸
之间近似满足关系式
(
为大于
的常数),现随机抽取
件合格产品,测得数据如下:
尺寸 | ||||||
质量 |
对数据作了初步处理,相关统计量的值如下表:
(1)根据所给数据,求关于
的回归方程;
(2)按照某项指标测定,当产品质量与尺寸的比在区间内时为优等品,现从抽取的
件合格产品中再任选
件,记
为取到优等品的件数,试求随机变量
的分布列和期望.
附:对于一组数据,其回归直线
的斜率和截距的最小二乘估计分别为
.
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【题目】为了解患肺心病是否与性别有关,在某医院对入院者用简单随机抽样方法抽取50人进行调查,结果如下列联表:
(Ⅰ)是否有的把握认为入院者中患肺心病与性别有关?请说明理由;
(Ⅱ)已知在患肺心病的10位女性中,有3位患胃病.现在从这10位女性中,随机选出3名进行其它方面的排查,记选出患胃病的女性人数为,求
的分布列和数学期望;
附:
0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 | |
K | 2.072 | 2.706 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
.
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【题目】某池塘中原有一块浮草,浮草蔓延后的面积y(m2)与时间t(月)之间的函数关系是y=at﹣1(a>0,且a≠1),它的图象如图所示.给出以下命题: ①池塘中原有浮草的面积是0.5m2;
②到第7个月浮草的面积一定能超过60m2
③浮草每月增加的面积都相等;
④若浮草面积达到4m2 , 16m2 , 64m2所经过时间分别为t1 , t2 , t3 , 则t1+t2<t3 , 其中所有正确命题的序号是( )
A.①②
B.①④
C.②③
D.②④
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【题目】已知椭圆:
的离心率为
,
为该椭圆的右焦点,过点
任作一直线
交椭圆于
两点,且
的最大值为4.
(1)求椭圆的方程;
(2)设椭圆的左顶点为
,若直线
分别交直线
于
两点,求证:
.
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【题目】设不等式-2<|x-1|-|x+2|<0的解集为M ,a,b∈M .
(Ⅰ)证明:||<
;
(Ⅱ)比较|1-4ab|与2|a-b|的大小,并说明理由.
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