Question

已知矩形ABCD所在平面外一点P，PA⊥平面ABCD，E、F分别是AB、PC的中点，且PA=AD．
（1）求证：EF∥平面PAD；
（2）求证：面PEC⊥面PCD．

Answer 1

考点：平面与平面垂直的判定,直线与平面平行的判定

专题：空间位置关系与距离

分析：（1）作CD的中点G，连结FG，EG，先证明出FG∥PD，EG∥AD，根据面面平行的判定定理证明出平面EFG∥平面ADP，进而根据面面平行的性质证明出EF∥平面ADP．
（2）根据线面垂直的判定定理证明出CD⊥EFG，则EF⊥CD可证，进而证明出△PEA≌△CEB得知PE=CE，证明出EF⊥PC，最后利用线面垂直的判定定理证明出EF⊥平面PCD．
最后利用面面垂直的判定定理证明出面PEC⊥面PCD．

解答： （1）作CD的中点G，连结FG，EG，
∵E，F，G均为中点，
∴FG∥PD，EG∥AD，
∵FG?平面ADP，EG?平面ADP，
∴FG∥平面ADP，EG∥平面ADP，
∵FG∩EG=G，FG?平面EFG，EG?平面EFG，
∴平面EFG∥平面ADP，
∵EF?平面EFG，
∴EF∥平面ADP．
（2）∵PA⊥平面ABCD，CD?平面ABCD，
∴PA⊥CD，
∵CD⊥AD，PA∩AD=A，PA?平面ADP，AD?平面ADP，
∴CD⊥平面ADP，
∵平面EFG∥平面ADP，
∴CD⊥平面EFG，
∵EF?平面EFG，
∴CD⊥EF，
∵PA=AD=BC，∠A=∠B，BE=AE，
∴△PEA≌△CEB，
∴PE=EC，
∵F为PC的中点，
∴EF⊥PC，
∵PC?平面PCD，CD?平面PCD，PC∩CD=C，
∴EF⊥平面PCD．
∵EF?面PEC，
∴面PEC⊥面PCD．

点评：本题主要考查了线面垂直和面面垂直的判定定理的应用．证明面面垂直的主要方法一般是先证明出线面垂直，进而判断出面面垂直．