Question

对于直角坐标平面内的任意两点A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），定义它们之间的一种“距离”：‖AB‖=|x₁-x₂|+|y₁-y₂|．给出下列三个命题：
①若点C在线段AB上，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；
②在△ABC中，若∠C=90°，则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖；
③在△ABC中，‖AC‖+‖CB‖＞‖AB‖．
其中真命题的个数为（　　）

A．0

B．1

C．2

D．3

Answer 1

分析：根据新定义A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂）之间的“距离”：‖AB‖=

.

x1- x2

.

+

.

y1- y2

.

，对①②③逐个分析即可判断其正误．

解答：解：①，不妨设直线AB的方程为y=kx+b（k＞0），令x₂＞x₀＞x₁，
∵点C（x₀，y₀）在线段AB上，
∴‖AC‖=

.

x0- x1

.

+

.

y0- y1

.

=（k+1）（x₀-x₁）；
同理可得，‖CB‖=（k+1）（x₂-x₀），‖AB‖=（k+1）（x₂-x₁）；
∵‖AC‖+‖CB‖=（k+1）（x₀-x₁）+（k+1）（x₂-x₀）=（k+1）（x₂-x₁）=‖AB‖；
故①正确；
②，∵在△ABC中，若∠C=90°，取C（1，1），A（3，2），则B在直线x+y=3上，不妨取B（0，3），
‖CA‖=|3-1|+|2-1|=2+1=3，‖CB‖=|0-1|+|3-1|=1+2=3，‖AB‖=|3-0|+|2-3|=4，
显然，‖AC‖+‖CB‖≠‖AB‖；故②错误；
③，取C（0，0），A（1，0），B（0，1），则‖AC‖+‖CB‖=‖AB‖=2，故③错误．
综上所述，其中真命题的个数为1．
故选B．

点评：本题考查命题的真假判断与应用，着重考查分析法与排除法的应用，考查构造思想与推理运算能力，属于难题．