Question

（2009•上海模拟）已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的渐近线方程为y=±

3

3

x，左焦点为F，过A（a，0），B（0，-b）的直线为l，原点到直线l的距离是

3

2

．
（1）求双曲线的方程；
（2）已知直线y=x+m交双曲线于不同的两点C，D，问是否存在实数m，使得以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F．若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析：（1）根据双曲线的渐近线方程及原点到直线l的距离是

3

2

，即可求双曲线的标准方程；
（2）以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F，可知

FC

•

FD

=0．将直线方程与双曲线方程联立，可得一元二次方程，利用韦达定理可将向量关系转化为坐标关系，从而得解．

解答：解：（1）∵

b

a

=

3

3

，（2分）
原点到直线AB：

x

a

-

y

b

=1的距离，d=

ab

a2+b2

=

ab

c

=

3

2

．（4分）
∴b=1，a=

3

．故所求双曲线方程为 

x2

3

-y2=1．（6分）
（2）把y=x+m代入x²-3y²=3中消去y，整理得 2x²+6mx+3m²+3=0．（8分）
设C（x₁，y₁），D（x₂，y₂），则x1+x2=-3m， x1x2=

3m2+3

2

，F（-2，0），
因为以CD为直径的圆经过双曲线的左焦点F，所以

FC

•

FD

=0，（10分）
可得  （x₁+2）（x₂+2）+y₁y₂=0把y₁=x₁+m，y₁=x₁+m代入，
解得：m=3±

2

（13分）
解△＞0，得m²＞2，
∴m=3±

2

满足△＞0，
∴m=3±

2

（14分）

点评：本题的考点是直线与圆锥曲线的综合问题，主要考查双曲线的标准方程求解，考查直线与双曲线的位置关系，应注意判别式的验证．