Question

已知椭圆C₁与双曲线C₂有共同的焦点F₁（-2，0），F₂（2，0），椭圆的一个短轴端点为B，直线F₁B与双曲线的一条渐近线平行，椭圆C₁与双曲线C₂的离心率分别为e₁，e₂，则e₁+e₂取值范围为（　　）

A．（2，+∞）

B．（4，+∞）

C．（4，+∞）

D．（2，+∞）

Answer 1

分析：设椭圆的长轴为2a，短轴为2b；双曲线的实轴为2a'，虚轴为2b'．由椭圆、双曲线的基本概念，结合直线平行的条件，建立关系式化简可得

c2

a′2

=

a 2

c2

，即(

c

a′

)2=(

a

c

)2，可得e₁•e₂=1．由此结合基本不等式求最值，即可算出e₁+e₂取值范围．

解答：解：设椭圆的长轴为2a，短轴为2b；双曲线的实轴为2a'，虚轴为2b'
∵椭圆的一个短轴端点为B，直线F₁B与双曲线的一条渐近线平行，
∴

b′

a′

=

b

c

，平方可得

b′2

a′2

=

b2

c2

由此得到

a′2+b′2

a′2

=

c2+b2

c2

，即

c2

a′2

=

a 2

c2

，
也即(

c

a′

)2=(

a

c

)2，可得e₁•e₂=1
∵e₁、e₂都是正数，∴e₁+e₂≥2

e1e2

=2，且等号不能成立
因此e₁+e₂取值范围为（2，+∞）
故选：D

点评：本题给出椭圆与双曲线有公共的焦点，在椭圆的短轴端点B与F₁的连线平行双曲线的一条渐近线情况下，求离心率之和的范围．着重考查了椭圆、双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于中档题．