Question

20．已知函数f（x）满足f（x³-1）=$\frac{lnx}{{x}^{2}}$，求f′（x）．

Answer 1

分析 利用换元法，求出函数的解析式，再根据导数的运算法则求导即可．

解答 解：设x³-1=t，则x=$\root{3}{1+t}$，
∵x＞0，则t＞-1，
∴f（t）=$\frac{ln\root{3}{1+t}}{\root{3}{（1+t）^{2}}}$=$\frac{1}{3}$（1+t）${\;}^{-\frac{2}{3}}$ln（1+t），
∴f（x）=$\frac{1}{3}$（1+x）${\;}^{-\frac{2}{3}}$ln（1+x），
∴f′（x）=$\frac{1}{3}$[-$\frac{2}{3}$$（1+x）^{-\frac{5}{3}}$$•\frac{1}{1+x}$]=-$\frac{2}{9}$$（1+x）^{-\frac{8}{3}}$．

点评 本题考查了函数解析式的求法和导数的运算法则，属于基础题．