Question

已知二次函数f（x）=x²+2ax+c，且f（1）=-1．
（1）当f（0）=-4时，求函数f（x）在x∈[2，+∞）的最小值；
（2）若对于任意的x∈[a，a+2]，f（x）＞-1恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析：（1）由f（1）=-1和f（0）=-4，列出关于a和c的方程组，求出a=1，c=-4，即得f（x）=x²+2x-4，对称轴为x=-1，所以函数f（x）在[2，+∞）单调递增，即可得f（x）的最小值．
（2）根据f（1）=-1可得c=-2-2a，可得f（x）=x²+2ax-2-2a，对于任意的x∈[a，a+2]，f（x）＞-1恒成立，即求f（x）_min＞-1．根据对称区间轴为x=-a与[a，a+2]的位置关系，分类讨论求出f（x）_min，进而求得实数a的取值范围．

解答：解：（1）∵f（1）=-1且f（0）=-4，
∴1+2a+c=-1且c=-4，
∴a=1，c=-4，
∴f（x）=x²+2x-4，可得f（x）的对称轴为x=-1，
∴函数f（x）在[2，+∞）单调递增，
∴f（x）的最小值为f（2）=4．
（2）∵f（1）=-1，
∴c=-2-2a，可得f（x）=x²+2ax-2-2a，对称轴为x=-a，
∵对于任意的x∈[a，a+2]，f（x）＞-1恒成立，即求f（x）_min＞-1，
①当-a≤a，即a≥0时，对称轴在[a，a+2]的左侧，
∴f（x）在[a，a+2]上单调递增，
∴f（x）_min=f（a）=3a²-2a-2＞-1，即3a²-2a-1＞0解得，a＜-

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或a＞1，
∴a＞1．
②当a＜-a＜a+2，即-1＜a＜0时，对称轴在[a，a+2]的中间，
∴f（x）_min=f（-a）=-a²-2a-2＞-1，即（a+1）²＜0，
∴a无解．
③当-a≥a+2，即a≤-1时，对称轴在[a，a+2]的右侧，
∴f（x）在[a，a+2]上单调递减，
∴f（x）_min=f（a+2）=3a²+6a+2＞-1，即a²+2a+1＞0，解得a≠-1，
∴a＜-1．
综上可得，a＜-1或a＞1
实数a的取值范围为（-∞，-1）∪（1，+∞）．

点评：本题考查了二次函数的解析式以及二次函数的性质，重点考查了二次函数最值的求解，二次函数的最值要考虑开口方向和对称轴与区间的位置关系，运用分类讨论的数学思想解决此类问题．属于中档题．