Question

11．设函数f（x）=log₂x-log_x2（0＜x＜1），数列{a_n}满足f（2^a_n ）=2n（n∈N₊）
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）判断数列{a_n}的单调性．

Answer 1

分析 （1）由f（2^a_n ）=2n（n∈N₊），可得$lo{g}_{2}{2}^{{a}_{n}}$-$\frac{1}{lo{g}_{2}{2}^{{a}_{n}}}$=2n，利用对数的运算性质及其一元二次方程的解法可得：a_n=$±\sqrt{{n}^{2}+1}$，根据0＜${2}^{{a}_{n}}$＜1，可得a_n＜0，即可得出．
（2）由（1）可得：a_n=-$\frac{1}{n+\sqrt{{n}^{2}+1}}$．利用函数的单调性即可得出．

解答 解：（1）∵f（2^a_n ）=2n（n∈N₊），
∴$lo{g}_{2}{2}^{{a}_{n}}$-$\frac{1}{lo{g}_{2}{2}^{{a}_{n}}}$=2n，
∴a_n-$\frac{1}{{a}_{n}}$=2n，化为${a}_{n}^{2}$-2na_n-1=0，
解得a_n=$\frac{2n±\sqrt{4{n}^{2}+4}}{2}$=n$±\sqrt{{n}^{2}+1}$，
∵0＜${2}^{{a}_{n}}$＜1，∴a_n＜0，
∴a_n=n-$\sqrt{{n}^{2}+1}$．
（2）由（1）可得：a_n=n-$\sqrt{{n}^{2}+1}$=-$\frac{1}{n+\sqrt{{n}^{2}+1}}$．
∵f（n）=$\frac{1}{n+\sqrt{{n}^{2}+1}}$关于n单调递减，∴g（n）=-$\frac{1}{n+\sqrt{{n}^{2}+1}}$关于n单调递增．
∴数列{a_n}单调递增．

点评 本题考查了数列的通项公式、单调性、对数的运算性质、一元二次方程的解法，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．