Question

17．已知点A、B、C、D在同-个球面上，DA⊥平面ABC，DA=AB=AC=$\sqrt{3}$，∠BAC=60°，则球的半径是$\frac{\sqrt{7}}{2}$．若∠BAC=120°，结果又如何？

Answer 1

分析 先求出BC，利用正弦定理求出△ABC的外接圆半径，再求出球的半径．

解答 解：由题意，△ABC的外接圆半径为r，球的半径是R，
∵AB=AC=$\sqrt{3}$，∠BAC=60°，
∴BC=$\sqrt{3+3-2×\sqrt{3}×\sqrt{3}×\frac{1}{2}}$=$\sqrt{3}$，
∴2r=$\frac{\sqrt{3}}{sin60°}$=2，
∴2R=$\sqrt{3+4}$=$\sqrt{7}$，
∴R=$\frac{\sqrt{7}}{2}$；
∵AB=AC=$\sqrt{3}$，∠BAC=120°，
∴BC=$\sqrt{3+3-2×\sqrt{3}×\sqrt{3}×（-\frac{1}{2}）}$=3，
∴2r=$\frac{3}{sin60°}$=2$\sqrt{3}$，
∴2R=$\sqrt{12+3}$=$\sqrt{15}$，
∴R=$\frac{\sqrt{15}}{2}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{7}}{2}$．

点评 本题考查正弦定理、余弦定理，考查学生的计算能力，属于中档题．