Question

2．函数f（x）=x³-ax²+3x，a∈R．
（1）若x=3是f（x）的极值点，求f（x）在[1，5]上的最大值；
（2）在（1）的条件下．若?x₀≤∈[1，5]，使得 f（x₀）＜-2b²+b-8成立，求实数b的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由x=3是f（x）的极值点，得f′（3）=0，解出可得a的值，可求f（x），f'（x），利用函数的单调性求出函数的最大值；
（2）对于?x₀∈[1，5]，使得 f（x₀）＜-2b²+b-8成立，等价于[f（x）]_min≤-2b²+b-8，即可求实数b的取值范围．

解答 解：（1）∵x=3是f（x）的极值点，
∴f′（3）=0．
∵f′（x）=3x²-2ax+3，
∴3×9-6a+3=0，
∴a=5．
经检验a=5时x=3是f（x）的一个极值点，
故a=5；
∴f（x）=x³-5x²+3x，f′（x）=3x²-10x+3．
令f′（x）=0，得x₁=$\frac{1}{3}$，x₂=3．
当f′（x）＞0时，即3＜x≤5时，函数单调递增，
当f′（x）＜0时，即1≤x＜3时，函数单调递减，
∴f（1）=1-5+3=-1，f（5）=125-125+15=15，
∴f（x）在[1，5]上的最大值为f（5）=15．
（2）对于?x₀∈[1，5]，使得 f（x₀）＜-2b²+b-8成立，等价于[f（x）]_min≤-2b²+b-8，
由（1）知，[f（x）]_min=f（3）=-9，
∴-2b²+b-8≥-9，
∴2b²-b-1≤0，
解得-$\frac{1}{2}$≤b≤1，
∴实数b的取值范围为（-$\frac{1}{2}$，1）．

点评 本题考查利用导数研究函数的极值、最值，函数的能成立问题，正确理解导数与函数的关系是解题关键，体现了等价转化，属于中档题．