Question

12．已知函数$f（x）=\sqrt{3}sin2x+2{cos^2}x+3$．
（Ⅰ）求f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）求f（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的最值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）首先，借助于辅助角公式和二倍角公式，进行化简函数解析式，然后，确定其周期即可；
（Ⅱ）结合（Ⅰ）和所给的范围，结合三角函数的单调性确定其最值．

解答 解：（Ⅰ）$f（x）=\sqrt{3}sin2x+2{cos^2}x+3$．
=$\sqrt{3}$sin2x+cos2x+4
=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+4，
∴f（x）=2sin（2x+$\frac{π}{6}$）+4
∴T=$\frac{2π}{2}$=π．
（Ⅱ）∵0≤x≤$\frac{π}{2}$，
∴0≤2x≤π，
∴$\frac{π}{6}$≤2x+$\frac{π}{6}$≤$\frac{7π}{6}$，
∴-$\frac{1}{2}$≤sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤1，
∴-1≤2sin（2x+$\frac{π}{6}$）≤2，
∴f（x）在$[0，\frac{π}{2}]$上的最大值为2，最小值为-1．

点评 本题重点考查了三角公式、二倍角公式、辅助角公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．