Question

7．已知函数f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx-2cos²x+1．
（I）求函数f（x）的最小正周期；
（Ⅱ）将函数f（x）的图象向左平移$\frac{π}{3}$个单位，得到函数g（x）的图象．在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若g（$\frac{A}{2}$）=1，a=2，b+c=4，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （I）首先，利用降幂公式、辅助角公式化简函数解析式，然后，根据三角函数的周期公式进行求解即可；
（Ⅱ）借助于三角函数的图象变换，得到函数g（x）的解析式，然后，结合余弦定理，确定其三角形的面积．

解答 解：（Ⅰ）f（x）=2$\sqrt{3}$sinxcosx-2cos²x+1
=$\sqrt{3}$sin2x-cos2x
=2sin（2x-$\frac{π}{6}$）…（4分）
所以，函数f（x）的最小正周期为T=$\frac{2π}{2}$=π．…（5分）
（Ⅱ）g（x）=f（x+$\frac{π}{3}$）
=2sin[2（x+$\frac{π}{3}$）-$\frac{π}{6}$]=2sin（2x+$\frac{π}{2}$）=2cos2x---------（7分）
g（$\frac{A}{2}$）=2cosA=1，
∴cosA=$\frac{1}{2}$，
∵0＜A＜π，
∴A=$\frac{π}{3}$，--------------（8分）
在△ABC中，利用余弦定理，得
a²=b²+c²-2bccosA，
∴4=b²+c²-2bc$•\frac{1}{2}$=（b+c）²-2bc，
∴bc=4，
∴S_△ABC=$\frac{1}{2}$bcsinA=$\frac{1}{2}$×4×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=$\sqrt{3}$．…（12分）

点评 本题属于综合题，综合考查了三角公式、二倍角公式、辅助角公式、三角函数的图象与性质等知识，属于中档题．