Question

19．已知等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₂=17，S₁₀=100．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足b_n=a_ncos（nπ）（n∈N^*），求数列{b_n}的前n项和．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的通项公式及其前n项和公式即可得出．
（2）b_n=a_ncos（nπ）=（-1）ⁿ（21-2n），对n分类讨论分组求和即可得出．

解答 解：（1）设等差数列{a_n}的公差为d，
∵a₂=17，S₁₀=100．
∴$\left\{\begin{array}{l}{{a}_{1}+d=17}\\{10{a}_{1}+\frac{10×9}{2}d=100}\end{array}\right.$，解得a₁=19，d=-2．
∴a_n=19-2（n-1）=21-2n．
（2）∵b_n=a_ncos（nπ）=（-1）ⁿ（21-2n），
当n=2k（k∈N^*）为偶数时，数列{b_n}的前n项和T_n=（-a₁+a₂）+（-a₃+a₄）+…+（-a_2k-1+a_2k）=-2-2…-2=-2k=-n．
当n=2k-1为奇数时，T_n=-a₁+（a₂-a₃）+…+（a_n-1-a_n）
=-19+2×$\frac{n-1}{2}$
=n-20．
∴T_n=$\left\{\begin{array}{l}{-n，n为偶数}\\{n-20，n为奇数}\end{array}\right.$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、“分组求和”方法，考查了分类讨论、推理能力与计算能力，属于中档题．