Question

【题目】已知数列的各项均为正数，前项和为，首项为2．若对任意的正整数，恒成立．

（1）求，，；

（2）求证：是等比数列；

（3）设数列满足，若数列，，…，（，）为等差数列，求的最大值．

Answer 1

【答案】（1）,，；（2）详见解析；（3）3.

【解析】

（1）由题意利用赋值法，对m，n进行赋值，可得a2，a3，a4；

（2）取m＝1，得，取m＝2，得．两式相除，得，（n∈N*）．结合，可得{Sn+2}是首项为4，公比为2的等比数列，求得．进一步求得．利用定义证得{an}是等比数列；

（3）由（2）知，，设，，成等差数列，则.

得到，分t＝r+1和t＝r+2两类分析得答案．

（1）由，对任意的正整数，恒成立

取，得，

即，得.

取，，得，

取，，得，

解得，.

（2）取，得，

取，得，

两式相除，得，即，即 .

由于，所以对任意均成立，

所以是首项为4，公比为2的等比数列，

所以，即.

时，，

而也符合上式，所以 .

因为（常数），所以是等比数列.

（3）由（2）知，.

设，，成等差数列，则.

即，

整理得，.

若，则，

因为，所以只能为2或4，所以只能为1或2.

若，则.

因为，故矛盾.

综上，只能是，，，成等差数列或，，成等差数列，其中为奇数.

所以的最大值为3.