Question

【题目】已知椭圆经过点，且离心率为．

（1）设过点的直线与椭圆相交于、两点，若的中点恰好为点，求该直线的方程；

（2）过右焦点的直线（与轴不重合）与椭圆交于两点，线段的垂直平分线交轴于点，求实数的取值范围．

Answer 1

【答案】（1） （2）

【解析】

（1）根据椭圆上的点和离心率求出椭圆方程，结合点差法解决中点弦问题，求出直线斜率，求解直线方程；

（2）设直线的方程，联立直线和椭圆，根据交点坐标关系，求出线段的垂直平分线方程，得出的表达式，利用函数关系求解取值范围.

（1）由题意，得，解得

所以椭圆的标准方程是．

设点，，则

两式相减得，

又，，代入得，即，

故所求直线的方程是，即．

（2）（i）当直线与轴垂直时，，符合题意．

（ii）当直线与轴不垂直时，设直线的方程为，．

联立方程

消去，可得，易知．

设，，线段的中点为，

则，，

所以，

所以线段的中点的坐标为．

由题意可知，，，

故直线的方程为．

令，得，即．

当时，得，当且仅当时等号成立；

当时，得，当且仅当时等号成立．

综上所述，实数的取值范围为．