【题目】如图,矩形中,,为的中点,现将与折起,使得平面及平面都与平面垂直.
(1)求证:平面;
(2)求二面角的正弦值.
【答案】(1)见解析(2)
【解析】
(1)分别取的中点,由线面垂直性质定理可得,又三角形和全等,所以,四边形为平行四边形,根据线面平行的判定定理,即得证;
(2)以为原点,,为,正半轴,过作平面的垂线为轴,建立空间直角坐标系,利用向量法即可求出二面角的正弦值.
(1)如图所示:
分别取,的中点,,连结,,,
则,,
平面与平面都与平面垂直,
平面,平面,
由线面垂直的性质定理得,
,四边形是平行四边形,,
平面,平面.
(2)如图,以为原点,,为,正半轴,过作平面的垂线为轴,建立空间直角坐标系,则,,平面的法向量,
设平面的法向量,
则,取,得.
设二面角的平面角为,由图知为钝角,
.
∴二面角的余弦值为,则正弦值为.
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【题目】已知圆,直线的方程为,点是直线上一动点,过点作圆的切线、,切点为、.
(1)当的横坐标为时,求的大小;
(2)求四边形面积的最小值;
(3)求证:经过、、三点的圆必过定点,并求出所有定点的坐标.
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【题目】下列说法中正确的序号是____________(写出所有正确命题的序号)
(1)“为实数”是“为有理数”的充分不必要条件;
(2)“”是“”的充要条件
(3)“”是“”的必要不充分条件;
(4)“,”是“”的充分不必要条件;
(5)的三个内角为.“”是“”的充要条件
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【题目】已知椭圆经过点,且离心率为.
(1)设过点的直线与椭圆相交于、两点,若的中点恰好为点,求该直线的方程;
(2)过右焦点的直线(与轴不重合)与椭圆交于两点,线段的垂直平分线交轴于点,求实数的取值范围.
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【题目】为评估设备生产某种零件的性能,从设备生产该零件的流水线上随机抽取100个零件为样本,测量其直径后,整理得到下表:
经计算,样本的平均值,标准差,以频率值作为概率的估计值.
(I)为评判一台设备的性能,从该设备加工的零件中任意抽取一件,记其直径为,并根据以下不等式进行判定(表示相应事件的概率):
①;
②;
③.
判定规则为:若同时满足上述三个式子,则设备等级为甲;若仅满足其中两个,则等级为乙,若仅满足其中一个,则等级为丙;若全部都不满足,则等级为了.试判断设备的性能等级.
(Ⅱ)将直径尺寸在之外的零件认定为是“次品”.
①从设备的生产流水线上随机抽取2个零件,求其中次品个数的数学期望;
②从样本中随意抽取2个零件,求其中次品个数的数学期望.
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【题目】选修4-4:坐标系与参数方程
在平面直角坐标系中,直线的参数方程为(为参数),在以坐标原点为极点,轴的正半轴为极轴的极坐标系中,曲线的极坐标方程为(且).
(I)求直线的极坐标方程及曲线的直角坐标方程;
(Ⅱ)已知是直线上的一点,是曲线上的一点, ,,若的最大值为2,求的值.
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