Question

【题目】已知椭圆 ，四点，，，中恰有三点在椭圆上.

（I）求椭圆的标准方程；

（Ⅱ）过的右焦点作斜率为的直线与交于，两点，直线与轴交于点，为线段的中点，过点作直线于点.证明：，，三点共线.

Answer 1

【答案】（I）；（Ⅱ）证明见解析.

【解析】

（I）根据椭圆的对称性，得到，在椭圆上，不在椭圆上，将点，代入椭圆的方程，联立得到，，即可求出椭圆方程。

（Ⅱ）设直线的方程为，代入椭圆方程，由于为线段的中点、直线于点，所以点、点，分别得到、的表达式，然后相减检验是否为0，若为0，即三点共线。

（I）根据椭圆对称性，必过，，又，不在上，

∴ ∴ ，，∴椭圆的方程为.

（Ⅱ），设直线的方程为，

代入椭圆方程，得，

设，，则，，

易知，，，，

，

∴，∴，，三点共线.