【题目】已知函数(),是自然对数的底数.
(1)当时,求的单调增区间;
(2)若对任意的,(),求的最大值;
(3)若的极大值为,求不等式的解集.
【答案】(1);(2);(3)
【解析】
(1)求出并整理为,结合即可求得函数的单调增区间.
(2)对的取值分类,当时,经检验,不合题意;当时,即可利用(1)求得的增减性,并求得时,最小值为,可将转化为,不妨设,则,利用导数即可求得最大值为,问题得解。
(3)当时,无极大值,当时,由的极大值为可求得,设,对范围分类,利用可得:当时,,结合即可得解。
(1)的定义域为.
因为,
令,因为,得, 因为,
所以的单调增区间是.
(2)当时,,不合题意;当时,令,得或,
所以在区间和上单调递减. 因为,且在区间上单调递增,
所以在处取极小值,即最小值为.若,,则,即.
不妨设,则.
设(),则.当时,;当时,,
所以在上单调递增;在上单调递减,所以,即,
所以的最大值为.
(3)由(2)知,当时,无极大值,
当时,在和上单调递增;在上单调递减,
所以在处取极大值,所以,即.
设,即,
当,,所以;
当,,
由(2)知,,又,所以,且不恒为零,
所以在上单调递增.不等式,即为,所以,
即不等式的解集为.
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【题目】已知点P在曲线x2+y2=1上运动,过点P作x轴的垂线,垂足为Q,动点M满足.
(1)求动点M的轨迹方程;
(2)点AB在直线x﹣y﹣4=0上,且AB=4,求△MAB的面积的最大值.
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【题目】如图,在三棱锥中,,,两两互相垂直,,点,分别在侧面、棱上运动,,为线段中点,当,运动时,点的轨迹把三棱锥分成上、下两部分的体积之比等于( )
A.B.C.D.
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【题目】如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是平行四边形,平面BPC⊥平面DPC,,E,F分别是PC,AD的中点.
求证:(1)BE⊥CD;
(2)EF∥平面PAB.
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【题目】已知椭圆经过点,且离心率为.
(1)设过点的直线与椭圆相交于、两点,若的中点恰好为点,求该直线的方程;
(2)过右焦点的直线(与轴不重合)与椭圆交于两点,线段的垂直平分线交轴于点,求实数的取值范围.
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【题目】如图,在梯形中,,,,四边形为矩形,平面平面,.
(1)求证:平面;
(2)在线段上是否存在点,使得平面与平面所成锐二面角的平面角为,且满足?若不存在,请说明理由;若存在,求出的长度.
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【题目】为了解人们对“延迟退休年龄政策”的态度,某部门从年龄在岁到岁的人群中随机调查了人,并得到如图所示的频率分布直方图,在这人中不支持“延迟退休年龄政策”的人数与年龄的统计结果如图所示:
年龄 | 不支持“延迟退休年龄政策”的人数 |
(1)由频率分布直方图,估计这人年龄的平均数;
(2)根据以上统计数据填写下面的列联表,据此表,能否在犯错误的概率不超过的前提下,认为以岁为分界点的不同人群对“延迟退休年龄政策”的态度存在差异?
45岁以下 | 45岁以上 | 总计 | |
不支持 | |||
支持 | |||
总计 |
附:
参考数据:
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【题目】在甲地,随着人们生活水平的不断提高,进入电影院看电影逐渐成为老百姓的一种娱乐方式.我们把习惯进入电影院看电影的人简称为“有习惯”的人,否则称为“无习惯的人”.某电影院在甲地随机调查了100位年龄在15岁到75岁的市民,他们的年龄的频数分布和“有习惯”的人数如下表:
(1)以年龄45岁为分界点,请根据100个样本数据完成下面列联表,并判断是否有的把握认为“有习惯”的人与年龄有关;
(2)已知甲地从15岁到75岁的市民大约有11万人,以频率估计概率,若每张电影票定价为元,则在“有习惯”的人中约有的人会买票看电影(为常数).已知票价定为30元的某电影,票房达到了 69.3万元.某新影片要上映,电影院若将电影票定价为25元,那么该影片票房估计能达到多少万元?
参考公式:,其中.
参考临界值
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