Question

已知函数f(x)=

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x3-x2-8x-

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，直线 l：10x+y+c=0．
（1）求y=f′（x）．
（2）求证直线l与y=f（x）的图象不相切．
（3）若当x∈[-1，1]时，函数y=f（x）的图象在直线l的下方，求c范围．

Answer 1

分析：（1）由f(x)=

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x3-x2-8x-

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，能求出f′（x）．
（2）由f′（x）=（x-1）²-9≥-9，l斜率为k=-10，故直线l与y=f（x）的图象不相切．
（3）根据题意c＜-

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x3+x2-2x+

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对一切x∈[-1，1]都成立．令g（x）=-

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x3+x2-2x+

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，由g′（x）=-（x-1）²-1＜0，知g（x）在[-1，1]单调递减，由此能求出c的范围．

解答：（1）解：∵f(x)=

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x3-x2-8x-

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，
∴f′（x）=x²-2x-8（3分）
（2）证明：∵f′（x）=（x-1）²-9≥-9，
而直线 l：10x+y+c=0．斜率为k=-10，
∵k＜-9，
∴直线l与y=f（x）的图象不相切．…..（7分）
（3）解：根据题意有

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x3-x2-8x-

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-（-10x-c）＜0对一切x∈[-1，1]都成立，
即：c＜-

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x3+x2-2x+

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对一切x∈[-1，1]都成立，…..（10分）
令g（x）=-

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x3+x2-2x+

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，
∵g′（x）=-（x-1）²-1＜0，
∴g（x）在[-1，1]单调递减，…..（13分）
∴当 x∈[-1，1]时，
[g（x）]_min=g（1）=-1，
∴c＜-1即c的范围为（-∞-1）．…..（15分）

点评：本题考查利用导数求闭区间上函数的最值的应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．对数学思维的要求比较高，有一定的探索性．解题时要认真审题，仔细解答．