Question

如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆周上的一点．
（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；
（2）若AB=2，AC=1，PA=1，求三棱锥P-ABC的体积．

Answer 1

分析：（1）由圆周角定理可得AC⊥BC，由线面垂直的性质，可得PA⊥BC，进而由线面垂直的判定定理可得BC⊥平面PAC，结合面面垂直的判定定理可得平面PAC⊥平面PBC；
（2）根据已知中AB=2，AC=1，PA=1，求出棱锥的底面积，进而将底面面积和高代入棱锥的体积公式，可得三棱锥P-ABC的体积

解答：证明：（1）由AB是圆的直径，得AC⊥BC，
由PA⊥平面ABC，BC?平面ABC，得PA⊥BC．
又PA∩AC=A，PA?平面PAC，AC?平面PAC，
所以BC⊥平面PAC．
因为BC?平面PBC，
所以平面PBC⊥平面PAC．
解：（2）由AB=2，AC=1，∠ACB=90°，得CB=

3

，
所以S△ABC=

1

2

×1×

3

=

3

2

，
三棱锥的高是PA=1，
所以VP-ABC=

1

3

×1×

3

2

=

3

6

点评：本题考查的知识点是平面与平面垂直的判定，棱锥的体积，其中熟练掌握空间线线垂直，线面垂直，面面垂直的相互转化是解答的关键．