Question

如图，AB是圆的直径，PA垂直圆所在的平面，C是圆周上的一点．

（1）求证：平面PAC⊥平面PBC；(6分)

（2）若AB＝2，AC＝1，PA＝1，求二面角C­PB­A的余弦值．（6分）

Answer 1

 (1)证明　由AB是圆的直径，得AC⊥BC，

由PA⊥平面ABC，BC⊂平面ABC，得PA⊥BC.

又PA∩AC＝A，PA⊂平面PAC，AC⊂平面PAC，

所以BC⊥平面PAC.

因为BC⊂平面PBC，

所以平面PBC⊥平面PAC.（5分）

(2)　过C作CM∥AP，则CM⊥平面ABC.

如图，以点C为坐标原点，分别以直线CB、CA、CM为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系．

因为AB＝2，AC＝1，所以BC＝.

因为PA＝1，所以A(0,1,0)，B(，0,0)，P(0,1,1)．

故C＝(，0,0)，C＝(0,1,1)．

设平面BCP的法向量为n₁＝(x，y，z)，则所以

不妨令y＝1，则n₁＝(0,1，－1)．

因为A＝(0,0,1)，A＝(，－1,0)，

设平面ABP的法向量为n₂＝(x，y，z)，

则

所以

不妨令x＝1，则n₂＝(1，，0)．

于是cos〈n₁，n₂〉＝＝.

所以由题意可知二面角C­PB­A的余弦值为.