Question

定义函数f（x）={x．{x}}，其中{x}表示不小于x的最小整数，如{1.4）=2，{-2.3}=-2．当x∈（0，n]（n∈N^*）时，函数f（x）的值域为A_n，记集合A_n中元素的个数为a_n，则

lim

n→∞

（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

）=

 

．

Answer 1

考点：极限及其运算

专题：函数的性质及应用

分析：根据{x}的定义、f（x）={x•{x}}，依次求出数列{a_n}的前5项，再归纳出a_n=a_n-1+n，利用累加法求出a_n，再利用裂项相消法求出

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

的值．进而能求出

lim

n→∞

（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

）．

解答： 解：由题意易知：当n=1时，因为x∈（0，1]，所以{x}=1，所以{x{x}}=1，所以A₁={1}，a₁=1；
当n=2时，因为x∈（1，2]，所以{x}=2，所以{x{x}}∈（2，4]，所以A₂={1，3，4}，a₂=3；
当n=3时，因为x∈（2，3]，所以{x}=3，所以{x{x}}={3x}∈（6，9]，
所以A₃={1，3，4，7，8，9}，a₃=6；
当n=4时，因为x∈（3，4]，所以{x}=4，所以{x{x}}={4x}∈（12，16]，
所以A₄={1，3，4，7，8，9，13，14，15，16}，a₄=10；
当n=5时，因为x∈（4，5]，所以{x}=5，所以{x{x}}={5x}∈（20，25]，
所以A₅={1，3，4，7，8，9，13，14，15，16，21，22，23，24，25}，a₅=15，
由此类推：a_n=a_n-1+n，所以a_n-a_n-1=n，
即a₂-a₁=2，a₃-a₂=3，a₄-a₃=4，…，a_n-a_n-1=n，
以上n-1个式子相加得，a_n-a₁=

（n-1）（n+2）

2

，
解得an=

n（n+1）

2

，所以

1

an

=

2

n（n+1）

=2（

1

n

-

1

n+1

），
则

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

=2[（1-

1

2

）+（

1

2

-

1

3

）+…+（

1

n

-

1

n+1

）]=

2n

n+1

，
∴

lim

n→∞

（

1

a1

+

1

a2

+…+

1

an

）
=

lim

n→∞

（

2n

n+1

）
=2．
故答案为：2．

点评：本题考查的知识点是分段函数，集合元素的个数，基本不等式在求函数最值时的应用，其中正确理解函数f（x）=[x[x]]，所表示的意义是解答本题的关键．