Question

【题目】若函数f（x）=（2x2﹣ax﹣6a2）ln（x﹣a）的值域是[0，+∞），则实数a=

Answer 1

【答案】﹣ 或1
【解析】解：f（x）=（x﹣2a）（2x+3a）ln（x﹣a），
由f（x）=0得x=2a，或x=﹣ ，或x=a+1，
若a=0，则f（x）=2x2lnx，则函数的值域为（﹣∞，+∞），不满足条件．
若a＞0，则函数的定义域为x＞a，此时函数f（x）的零点为x=2a，x=a+1，
设y=（x﹣2a）（2x+3a），y=ln（x﹣a），
要使函数f（x）的值域为[0，+∞），则函数y=（x﹣2a）（2x+3a），y=ln（x﹣a），
则定义域（a，+∞）上函数值的符号相同，
即两个函数的零点相等即2a=a+1，得a=1，
若a＜0，则函数的定义域为x＞a，此时函数f（x）的零点为x=﹣ ，x=a+1，
设y=（x﹣2a）（2x+3a），y=ln（x﹣a），
要使函数f（x）的值域为[0，+∞），则函数y=（x﹣2a）（2x+3a），y=ln（x﹣a），
则定义域（a，+∞）上函数值的符号相同，
即两个函数的零点相等即﹣ =a+1，得a=﹣ ，
综上a=﹣ 或a=1，
所以答案是：﹣ 或1．

【考点精析】本题主要考查了函数的值域的相关知识点，需要掌握求函数值域的方法和求函数最值的常用方法基本上是相同的．事实上，如果在函数的值域中存在一个最小（大）数，这个数就是函数的最小（大）值．因此求函数的最值与值域，其实质是相同的才能正确解答此题．