Question

10．为拉动经济增长，某市决定新建一批重点工程，分别为基础设施工程、民生工程和产业建设工程三类，这三类工程所含项目的个数分别占总数的$\frac{1}{2}，\frac{1}{3}，\frac{1}{6}$，现在3名工人独立地从中任选一个项目参与建设．
（1）求他们选择的项目所属类别互不相同概率．
（2）记ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，求ξ的分布列．

Answer 1

分析 （1）根据题意，首先设第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A_i，B_i，C_i，i=1，2，3，且各个事件相互独立，又由P（A_i）=$\frac{1}{2}$，P（B_i）=$\frac{1}{3}$，P（C_i）=$\frac{1}{6}$，由相互独立事件的概率乘法公式得答案．
（2）根据ξ为3人中选择的项目属于基础设施工程或产业建设工程的人数，得到变量的可能取值，分析出变量符合二项分布，得到变量的概率，即可写出分布列．

解答 解：记第i名工人选择的项目属于基础设施工程、民生工程和产业建设工程分别为事件A_i，B_i，C_i，i=1，2，3，由题意知A₁，A₂，A₃相互独立，B₁，B₂，B₃相互独立，C₁，C₂，C₃相互独立，
A_i，B_j，C_k（i，j，k=1，2，3且i，j，k互不相同）相互独立，
且P（A_i）=$\frac{1}{2}$，P（B_i）=$\frac{1}{3}$，P（C_i）=$\frac{1}{6}$．
（1）他们选择的项目所属类别互不相同的概率：
P=3×2×P（A₁B₂C₃）=6P（A₁）P（B₂）P（C₃）=6×$\frac{1}{2}×\frac{1}{3}×\frac{1}{6}$=$\frac{1}{6}$．
（2）设3名工人中选择项目属于民生工程的人数为η，由已知：η～（3，$\frac{1}{3}$），
且ξ=3-η．
∴P（ξ=0）=P（η=3）=${C}_{3}^{3}（\frac{1}{3}）^{3}=\frac{1}{27}$；
P（ξ=1）=P（η=2）=${C}_{3}^{2}（\frac{1}{3}）^{2}（\frac{2}{3}）=\frac{2}{9}$；
P（ξ=2）=P（η=1）=${C}_{3}^{1}（\frac{1}{3}）（\frac{2}{3}）^{2}=\frac{4}{9}$；
P（ξ=3）=P（η=0）=${C}_{3}^{0}（\frac{2}{3}）^{3}=\frac{8}{27}$．
∴ξ的分布列是：

ξ	0	1	2	3
P	$\frac{1}{27}$	$\frac{2}{9}$	$\frac{4}{9}$	$\frac{8}{27}$

点评 本题考查离散型随机变量的分布列，考查相互独立事件同时发生的概率，考查二项分布，是一个概率的综合题目，属中档题．