Question

计算：1²+2²+3²+…+n²=

 

．

Answer 1

考点：数列的求和

专题：等差数列与等比数列

分析：1²+2²+3²+…+n²=

n(n+1)(2n+1)

6

．并用数学归纳法进行证明．

解答： 解：1²+2²+3²+…+n²=

n(n+1)(2n+1)

6

．
用数学归纳法证明如下：
①当n=1时，左边=1，右边=

(1+1)(2+1)

6

=1，即等式成立
②假设当n=k时，等式成立，即1²+2²+3²+…+k²=

k(k+1)(2k+1)

6

，
当n=k+1时，1²+2²+3²+…+（k+1）²=

k(k+1)(2k+1)

6

+(k+1)2=

(k+1)(k+2)(2k+3)

6

，
即等式成立
根据①和②可知
等式对任意正整数n都成立
∴1²+2²+3²+…+n²=

n(n+1)(2n+1)

6

．
故答案为：

n(n+1)(2n+1)

6

．

点评：本题考查数列的前n项和的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意数学归法的合理运用．