Question

【题目】已知函数f（x）= （x∈R），如图是函数f（x）在[0，+∞）上的图象，
（1）求a的值，并补充作出函数f（x）在（﹣∞，0）上的图象，说明作图的理由；
（2）根据图象指出（不必证明）函数的单调区间与值域；
（3）若方程f（x）=lnb恰有两个不等实根，求实数b的取值范围．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵由图象可知f（1）= =2，∴a=4

∴f（x）= ，

∵f（﹣x）= =﹣ =﹣f（x），

∴f（x）是奇函数，其图象关于原点对称，

补充图象如图：

（2）解：由图象知函数的单调递增区间为为（﹣1，1），单调递减区间为（﹣∞，﹣1]，[1，+∞），值域为[﹣2，2]
（3）解：由图象知，若方程f（x）=lnb恰有两个不等实根，

则0＜lnb＜2或﹣2＜lnb＜0，

即1＜b＜e2或e﹣2＜b＜1，

则b的取值范围是1＜b＜e2或e﹣2＜b＜1

【解析】（1）根据条件先求出a的值，结合函数奇偶性的定义判断函数的奇偶性即可．（2）结合函数的图象进行判断求解即可．（3）根据图象结合方程f（x）=lnb恰有两个不等实根，得到关于b的关系即可得到结论．