Question

18．已知函数f（x）=$\frac{4x}{3{x}^{2}+3}$，g（x）=$\frac{1}{3}$ax³-a²x．
（1）设a≠0，若对任意x₁∈[0，2]，总存在x₀∈[0，2]，使f（x₁）=g（x₀），求实数a的取值范围；
（2）点A（x₁，y₁）．B（x₂，y₂）为函数f（x）图象上不同的两点，求证：直线AB的斜率小于2．

Answer 1

分析 （1）求出f（x）在[0，2]上的值域，在求导g'（x），从而确定函数的单调性，转化为求函数最值问题；
（2）直线AB的斜率转化为求函数f'（x）的最值问题即可；

解答 解：（1）对f（x）求导：f'（x）=$\frac{-12{x}^{2}+12}{（3{x}^{2}+3）^{2}}$，令f'（x）=0，即导函数零点为x=1或-1；
故f（x）在（-∞，-1）上单调递减，（-1，1）上单调递增，（1，+∞）上单调递减；
f（0）=0，f（2）=$\frac{8}{15}$，f（1）=$\frac{2}{3}$
f（x）在[0，2]上的取值范围为：[0，$\frac{2}{3}$]
对g（x）求导：g'（x）=ax²-a²=a（x²-a），a＞0时，计算得出x=$\sqrt{a}$．
当0＜a＜4时，g'（x）＞0，∴$\sqrt{a}＜x≤2$；g'（x）＜0，∴0$≤x＜\sqrt{a}$
∴g（x）在[0，$\sqrt{a}$]上单调递减，在（$\sqrt{a}$，2]上单调递增，
显然g（$\sqrt{a}$）＜g（0）=0
根据题意可知，g（2）$≥\frac{2}{3}$，即3a²-4a+1≤0，
∴$\frac{1}{3}≤a≤1$
当a≥4时，g'（x）≤0，所以g（x）在[0，2]上单调递减，g（x）≤g（0），不合题意；
当a≤0时，x∈[0，2]，g（x）=$\frac{1}{3}a{x}^{3}-{a}^{2}x≤0$，不满足y=g（x）的值域包含[0，$\frac{2}{3}$]；
综上：$\frac{1}{3}≤a≤1$
（2）对f（x）求导：f'（x）=$\frac{-12{x}^{2}+12}{（3{x}^{2}+3）^{2}}$，令f'（x）=0，即导函数零点为x=1或-1；
故f（x）在（-∞，-1）上单调递减，（-1，1）上单调递增，（1，+∞）上单调递减；
令y=f'（x），则有y=$-\frac{12}{9}×\frac{{x}^{2}-1}{（{x}^{2}+1）^{2}}$，
令t=x²+1≥1，则y=-$\frac{4}{3}$（t-$\frac{2}{{t}^{2}}$），因为t与-$\frac{2}{{t}^{2}}$在t＞1都是增函数，所以y在t＞1上是减函数；
故${y}_{max}=y（1）=\frac{4}{3}$，此时t=1⇒x=0；
也即是当x=0时，y=f'（x）取得最大值，同时f（0）=0；
当A为原点坐标（0，0），B点坐标无限趋向于A点坐标，则此时曲线f（x）上两点的最大斜率趋向于$\frac{4}{3}$＜2．
故得证．

点评 本题主要考查利用导数判断函数的单调性与最值问题，以及函数求最值方法与转化思想，属中等题．